Isogonalflächen eines Strahlenbündels.
(A. 10) 57
50. Bezeichnet e die Spiralenebene eines Flächenpunktes A
und y den Winkel, den OA = r mit der Erzeugenden einschließt,
längs deren sich [X] und e berühren, dann ist, wie man sofort be-
rechnet, der zweite Hauptkrümmungsradius o2 von [Pj
rsiny
£?2 “ 7 •
cos (a — y}
q2 wird 0 für y = 0, das führt auf die in Nr. 42 angegebene, von
der Fläche [P] ausgeschlossene Kurve (S), welche stationäre Kurve
der Fläche [G] ist.
§ 11.
Kollineationen, welche Flächen [P] in sich überführen.
51. Die logarithmische Spirale ist im Klein-Lie sehen Sinne
eine IF-Kurve1 für lineare Transformationen, welche den Pol der
Spirale und die absoluten Punkte der Ebene unverändert lassen.
Die folgenden Betrachtungen sollen, in einer Art Analogie hierzu,
die Frage beantworten, welche Flächen [P] durch Gruppen line-
arer Raumtransformationen in sich übergeführt werden. Ein Bei-
spiel einer solchen Fläche ist die in Nr. 35 angegebene Rotations-
fläche der logarithmischen Spirale, die als Drehfläche durch jede
Rotation um ihre Achse in sich übergeht.
Zunächst kann man für jede Fläche [P] Streckungen von 0
aus2 angeben — und zwar, außer im Falle der algebraischen logarith-
mischen Krümmungslinien, abzahlbar unendlich viele —, welche die
Fläche in sich überführen.
Denn bei jeder Streckung von 0 aus geht nach Nr. 32 jede
logarithmische Krümmungslinie der Fläche in eine ihr kongruente
logarithmische Spirale in derselben Ebene über. Alle diese Spira-
len fallen nach der Streckung mit ihrer Ausgangslage zusammen,
wenn als Faktor der Streckung
1 F. Klein und S. Lie, Über diejenigen Curven, welche durch ein
geschlossenes System von unendlich vielen vertauschbaren linearen Trans-
formationen in sich übergehen. Math. Ann. Bd. 4, 1871, S. 50 — 84. Zum fol-
genden vgl. man auch G. Scheffers, Besondere transzendente Kurven. Enz.
d. math. Wiss. III, D 4, Nr. 13-20 und Nr. 34.
2 D. h. Transformationen, bei denen die Koordination eines rechtwink-
ligen Koordinatensystems, dessen Anfangspunkt O ist, mit einem festen, von 0
verschiedenen, endlichen Faktor o multipliziert werden.
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50. Bezeichnet e die Spiralenebene eines Flächenpunktes A
und y den Winkel, den OA = r mit der Erzeugenden einschließt,
längs deren sich [X] und e berühren, dann ist, wie man sofort be-
rechnet, der zweite Hauptkrümmungsradius o2 von [Pj
rsiny
£?2 “ 7 •
cos (a — y}
q2 wird 0 für y = 0, das führt auf die in Nr. 42 angegebene, von
der Fläche [P] ausgeschlossene Kurve (S), welche stationäre Kurve
der Fläche [G] ist.
§ 11.
Kollineationen, welche Flächen [P] in sich überführen.
51. Die logarithmische Spirale ist im Klein-Lie sehen Sinne
eine IF-Kurve1 für lineare Transformationen, welche den Pol der
Spirale und die absoluten Punkte der Ebene unverändert lassen.
Die folgenden Betrachtungen sollen, in einer Art Analogie hierzu,
die Frage beantworten, welche Flächen [P] durch Gruppen line-
arer Raumtransformationen in sich übergeführt werden. Ein Bei-
spiel einer solchen Fläche ist die in Nr. 35 angegebene Rotations-
fläche der logarithmischen Spirale, die als Drehfläche durch jede
Rotation um ihre Achse in sich übergeht.
Zunächst kann man für jede Fläche [P] Streckungen von 0
aus2 angeben — und zwar, außer im Falle der algebraischen logarith-
mischen Krümmungslinien, abzahlbar unendlich viele —, welche die
Fläche in sich überführen.
Denn bei jeder Streckung von 0 aus geht nach Nr. 32 jede
logarithmische Krümmungslinie der Fläche in eine ihr kongruente
logarithmische Spirale in derselben Ebene über. Alle diese Spira-
len fallen nach der Streckung mit ihrer Ausgangslage zusammen,
wenn als Faktor der Streckung
1 F. Klein und S. Lie, Über diejenigen Curven, welche durch ein
geschlossenes System von unendlich vielen vertauschbaren linearen Trans-
formationen in sich übergehen. Math. Ann. Bd. 4, 1871, S. 50 — 84. Zum fol-
genden vgl. man auch G. Scheffers, Besondere transzendente Kurven. Enz.
d. math. Wiss. III, D 4, Nr. 13-20 und Nr. 34.
2 D. h. Transformationen, bei denen die Koordination eines rechtwink-
ligen Koordinatensystems, dessen Anfangspunkt O ist, mit einem festen, von 0
verschiedenen, endlichen Faktor o multipliziert werden.