58 (A. 10)
Richard Baldus:
(56) Q^e~2nn-a n = ±l,2,...
gewählt wird1. Die logarithmischen Spiralen gehören im Endlichen
nach Nr. 41 ganz zur Fläche [P], mit Ausnahme des Punktes 0
und der Schnittpunkte mit den Berührungserzeugenden ihrer
Ebenen. Da bei den angegebenen Streckungen 0 fest bleibt, wäh-
rend diese Schnittpunkte untereinander vertauscht werden, geht
demnach durch die Streckungen (56) jeder Punkt der Fläche [P]
wieder in einen Punkt der Fläche über. Diese Streckungen bilden,
außer im Falle der algebraischen logarithmischen Krümmungs-
linien (bei denen nur endlich viele Werte auftreten) eine unstetige
Gruppe von abzählbar unendlich vielen Kollineationen.
Die folgenden Betrachtungen gelten den linearen Transfor-
mationen, die nicht Streckungen von 0 aus sind.
52. Es sei nun eine Fläche [P] vorgegeben, die keine Dreh-
fläche ist und welche durch eine räumliche Kollineation fR, die
keine Streckung von 0 aus ist, in sich übergeführt wird.
Zunächst erkennt man, daß in SR die uneigentliche Ebene sich
selbst entspricht. Denn ist dieser eine Ebene zugeordnet und Sj
die Schnittlinie von mit irgendeiner Spiralenebene ß, dann darf
die Fläche [P] nicht treffen, weil diese nach Nr. 16 keinen un-
eigentlichen Punkt hat. schneidet demnach die Spirale von ß
nicht, muß folglich entweder uneigentlich oder nach Nr. 41 die
Berührungserzeugende von ß mit [X] sein. Da dies für jede Spi-
ralenebene gilt und [X] kein Strahlenbüschel ist, muß uneigent-
lich sein.
Weiterhin läßt sich mit einer Einschränkung zeigen, daß O
ein Festpunkt der Kollineation SR ist:
Ist A ein Punkt von [P], (L) die logarithmische Krümmungs-
linie durch A, dann sind nach Nr. 20 die Tangentialebenen der
Fläche in den Schnittpunkten A', A"... AM von OA mit (L) zu-
einander parallel. Entspricht in SR der Geraden OA eine Gerade
OiAj, auf der auch die Punkte A't, A"... A^ liegen müssen, dann
sind die Tangentialebenen in An A[, A"... A^ wieder zueinander
parallel. Ferner ist der Winkel, den OA mit dem Lot aus 0 auf
die Tangentialebene von A einschließt, rc/2-a, was sich ohne
weiteres aus Nr. 20 ergibt; daraus folgt, daß die Berührungspunkte
1 Wobei, wie stets, a = cotg a ist.
Richard Baldus:
(56) Q^e~2nn-a n = ±l,2,...
gewählt wird1. Die logarithmischen Spiralen gehören im Endlichen
nach Nr. 41 ganz zur Fläche [P], mit Ausnahme des Punktes 0
und der Schnittpunkte mit den Berührungserzeugenden ihrer
Ebenen. Da bei den angegebenen Streckungen 0 fest bleibt, wäh-
rend diese Schnittpunkte untereinander vertauscht werden, geht
demnach durch die Streckungen (56) jeder Punkt der Fläche [P]
wieder in einen Punkt der Fläche über. Diese Streckungen bilden,
außer im Falle der algebraischen logarithmischen Krümmungs-
linien (bei denen nur endlich viele Werte auftreten) eine unstetige
Gruppe von abzählbar unendlich vielen Kollineationen.
Die folgenden Betrachtungen gelten den linearen Transfor-
mationen, die nicht Streckungen von 0 aus sind.
52. Es sei nun eine Fläche [P] vorgegeben, die keine Dreh-
fläche ist und welche durch eine räumliche Kollineation fR, die
keine Streckung von 0 aus ist, in sich übergeführt wird.
Zunächst erkennt man, daß in SR die uneigentliche Ebene sich
selbst entspricht. Denn ist dieser eine Ebene zugeordnet und Sj
die Schnittlinie von mit irgendeiner Spiralenebene ß, dann darf
die Fläche [P] nicht treffen, weil diese nach Nr. 16 keinen un-
eigentlichen Punkt hat. schneidet demnach die Spirale von ß
nicht, muß folglich entweder uneigentlich oder nach Nr. 41 die
Berührungserzeugende von ß mit [X] sein. Da dies für jede Spi-
ralenebene gilt und [X] kein Strahlenbüschel ist, muß uneigent-
lich sein.
Weiterhin läßt sich mit einer Einschränkung zeigen, daß O
ein Festpunkt der Kollineation SR ist:
Ist A ein Punkt von [P], (L) die logarithmische Krümmungs-
linie durch A, dann sind nach Nr. 20 die Tangentialebenen der
Fläche in den Schnittpunkten A', A"... AM von OA mit (L) zu-
einander parallel. Entspricht in SR der Geraden OA eine Gerade
OiAj, auf der auch die Punkte A't, A"... A^ liegen müssen, dann
sind die Tangentialebenen in An A[, A"... A^ wieder zueinander
parallel. Ferner ist der Winkel, den OA mit dem Lot aus 0 auf
die Tangentialebene von A einschließt, rc/2-a, was sich ohne
weiteres aus Nr. 20 ergibt; daraus folgt, daß die Berührungspunkte
1 Wobei, wie stets, a = cotg a ist.