Isogonalflächen eines Strahlenbündels.
(A. 10) 59
paralleler Tangentialebenen einer Fläche [P] auf einem Dreh-
kegel liegen, dessen Spitze 0 und dessen Achse das Lot aus 0 auf
die Ebenen ist. Demnach müssen die Punkte A1, A{, A"... A[v)
auf einem Drehkegel mit der Spitze 0 liegen, und da sie gleich-
zeitig Punkte der Geraden O1A1 sind, muß für v > 1 O1 = O sein.
Dies tritt daher immer dann ein, wenn die logarithmischen Krüm-
mungslinien nicht algebraische Kurven 2. Ordnung sind oder nicht
Kurven 3. Ordnung, welche durch O hindurchgehen (Nr. 7), d. h.
immer außer in den Fällen cotga = ±3Z; ±2i; ±5i 1.
Die Krümmungslinien des einen Systems von [Pj sind loga-
rithmische Spiralen, doch versagt nach Nr. 40 in den Schnitt-
punkten dieser Spiralen mit den zugehörigen Berührungserzeugen-
den von [K] die Definition von [P]. Diese Punkte bilden die
Kurve (N) von Nr. 42, welche mit [P] zusammen die Fläche [G]
bildet. Wird nun — und dies sei angenommen — auch [G] durch
9? in sich übergeführt, dann muß (5) wegen seines projektiv in-
varianten Charakters als einzige stationäre Kurve von [G] (Schluß
von Nr. 42) sich selbst entsprechen. Dasselbe gilt dann auch vom
Kegel [A], der (5) aus O projiziert; dessen Tangentialebenen, die
Ebenen der logarithmischen Krümmungslinien von [P], werden
durch Dl untereinander vertauscht.
Die logarithmische Spirale einer solchen Tangentialebene e
trifft nach Nr. 8 a die isotropen Geraden dieser Ebene nicht. Auf
diesen kann nach dem Schlüsse von Nr. 17 auch kein von einer
andern Spirale herrührender Punkt von [Pj liegen2. Die zwei iso-
tropen Geraden sind daher in der Ebene e die einzigen Geraden
durch 0 — wenn man von der Berührungserzeugenden absieht —,
auf welchen kein Punkt von [P] liegt. Entspricht e in Dl die Tan-
gentialebene von [A], dann gibt es auch in dieser höchstens
3 Gerade durch 0, die keinen Punkt mit [P] gemeinsam haben;
die Berührungserzeugenden von e und q entsprechen dabei ein-
1 Ähnlich wie hier bei den Flächen [P] muß man auch in der Ebene
bei manchen Betrachtungen über logarithmische Spiralen spezielle Werte des
Schnittwinkels ausschließen. So gilt der ziemlich einfach zu beweisende Satz
»Eine ebene Kollineation, welche eine anisotrope logarithmische Spirale in sich
überführt, hat den Pol der Spirale und die absoluten Punkte der Ebene zu
Festpunkten« nur für Spiralen, die keine Kegelschnitte sind.
2 Dagegen liefert dieselbe Spirale auf der Berührungserzeugenden ihrer
Ebene zwar ebenfalls keinen Flächenpunkt, doch können nach Nr. 42 Anm. 1
andre Spiralen zu Punkten auf dieser Erzeugenden führen.
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paralleler Tangentialebenen einer Fläche [P] auf einem Dreh-
kegel liegen, dessen Spitze 0 und dessen Achse das Lot aus 0 auf
die Ebenen ist. Demnach müssen die Punkte A1, A{, A"... A[v)
auf einem Drehkegel mit der Spitze 0 liegen, und da sie gleich-
zeitig Punkte der Geraden O1A1 sind, muß für v > 1 O1 = O sein.
Dies tritt daher immer dann ein, wenn die logarithmischen Krüm-
mungslinien nicht algebraische Kurven 2. Ordnung sind oder nicht
Kurven 3. Ordnung, welche durch O hindurchgehen (Nr. 7), d. h.
immer außer in den Fällen cotga = ±3Z; ±2i; ±5i 1.
Die Krümmungslinien des einen Systems von [Pj sind loga-
rithmische Spiralen, doch versagt nach Nr. 40 in den Schnitt-
punkten dieser Spiralen mit den zugehörigen Berührungserzeugen-
den von [K] die Definition von [P]. Diese Punkte bilden die
Kurve (N) von Nr. 42, welche mit [P] zusammen die Fläche [G]
bildet. Wird nun — und dies sei angenommen — auch [G] durch
9? in sich übergeführt, dann muß (5) wegen seines projektiv in-
varianten Charakters als einzige stationäre Kurve von [G] (Schluß
von Nr. 42) sich selbst entsprechen. Dasselbe gilt dann auch vom
Kegel [A], der (5) aus O projiziert; dessen Tangentialebenen, die
Ebenen der logarithmischen Krümmungslinien von [P], werden
durch Dl untereinander vertauscht.
Die logarithmische Spirale einer solchen Tangentialebene e
trifft nach Nr. 8 a die isotropen Geraden dieser Ebene nicht. Auf
diesen kann nach dem Schlüsse von Nr. 17 auch kein von einer
andern Spirale herrührender Punkt von [Pj liegen2. Die zwei iso-
tropen Geraden sind daher in der Ebene e die einzigen Geraden
durch 0 — wenn man von der Berührungserzeugenden absieht —,
auf welchen kein Punkt von [P] liegt. Entspricht e in Dl die Tan-
gentialebene von [A], dann gibt es auch in dieser höchstens
3 Gerade durch 0, die keinen Punkt mit [P] gemeinsam haben;
die Berührungserzeugenden von e und q entsprechen dabei ein-
1 Ähnlich wie hier bei den Flächen [P] muß man auch in der Ebene
bei manchen Betrachtungen über logarithmische Spiralen spezielle Werte des
Schnittwinkels ausschließen. So gilt der ziemlich einfach zu beweisende Satz
»Eine ebene Kollineation, welche eine anisotrope logarithmische Spirale in sich
überführt, hat den Pol der Spirale und die absoluten Punkte der Ebene zu
Festpunkten« nur für Spiralen, die keine Kegelschnitte sind.
2 Dagegen liefert dieselbe Spirale auf der Berührungserzeugenden ihrer
Ebene zwar ebenfalls keinen Flächenpunkt, doch können nach Nr. 42 Anm. 1
andre Spiralen zu Punkten auf dieser Erzeugenden führen.