Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

60 (A. 10)

Richard Baldus:

ander nach dem vorigen Absätze, demnach gehen durch SR die iso-
tropen Geraden in e in die isotropen Geraden in eA über. Da [A]
nach der Voraussetzung zu Beginn dieser Nr. kein Ebenenbüschel
sein soll, können die Tangentialebenen von [X] nicht sämtlich
durch eine endliche Zahl von Punkten des absoluten Kegelschnittes
hindurchgehen und der absolute Kegelschnitt entspricht in SR sich
selbst. Dies gibt zusammengefaßt, unter Mitberücksichtigung
der Streckungen von 0 aus:
Wird eine Fläche [P], die nicht Drehfläche ist, samt der durch
sie bestimmten Kurve (5) durch eine Kollineation in sich übergeführt,
gleichgültig, welches der Betrag ihres Schniltwinkels ist1, dann ist der
Pol der Fläche ein Festpunkt der Kollineation, außerdem wird der
absolute Kegelschnitt und der Kegel [X] in sich transformiert.
53. Soll nun eine Fläche [P] durch eine kontinuierliche, ein-
gliedrige, projektive Gruppe in sich transformiert werden2, dann
wird nach dem soeben abgeleiteten Satze dadurch eine ebensolche
Gruppe in der uneigentlichen Ebene bestimmt, die automorph ist
in bezug auf den absoluten Kegelschnitt. Der Schnitt (0 von
[K] mit der uneigentlichen Ebene ist, wenn [A] kein Ebenen-
büschel ist, eine JF-Kurve dieser Gruppe von Transformationen;
(0 ist demnach nach bekannten Sätzen ein Kegelschnitt, der den
absoluten Kegelschnitt in zwei Punkten je zweipunktig oder in
einem Punkte vierpunktig berührt. Im ersten Fall ist [A] ein
Drehkegel [K^] mit anisotroper Achse, im zweiten Fall ein Dreh-
kegel [Kf] mit isotroper Achse.
1 D. h. es existiert zu jedem beliebigen Schnittwinkel eine (von ihm
abhängige) Kollineation.
2 Flächen [P], die einzelne, von Streckungen verschiedene Kollineationen
zulassen, sind einfach anzugeben: Man wähle auf der Einheitskugel mit dem
Mittelpunkt O eine Kurve (A), die durch eine Drehung der Kugel um eine
durch 0 gehende anisotrope Achse in sich übergeht. Nimmt nach der Drehung
ein Punkt P die Lage Px an, ein Punkt Q die Lage Qx, dann ist, auf der Kurve
gemessen, der Bogen PP^ =PQ + QP[ =P^Q1 + QPX = QQi- Auf dem Kegel [A],
der (E) aus O projiziert, ist daher der Winkel & von Nr. 36, Gl. 31 zwischen
Anfangs- und Endlage für alle Erzeugenden des Kegels der gleiche. Dann
ist für eine zu [A] gehörende Fläche [P] vermöge Nr. 32 durch & eine Streckung
des Raumes von O aus bestimmt, welche zusammen mit der Drehung die
Spirale der Anfangslage irgendeiner Tangentialebene von [A] in die Spirale
der Endlage dieser Ebene überführt. Folglich transformiert die aus dieser
Drehung und Streckung zusammengesetzte Kollineation die Fläche [P] in sich.