Isogonalflächen eines Strahlenbündels.
(A. 10) 61
Eine Isogonalfläche mit dem 74 genügenden Teile des Kegels [7^]
möge mit [P2] bezeichnet werden, a sei der Winkel zwischen den
Erzeugenden von [K2] und der anisotropen Kegelachse pa. Dreht
man den Raum mit pa als Achse um den (komplexen) Winkel
wodurch eine Tangentialebene e von [K„] in eine Tangentialebene
ex übergeht, dann läßt sich nach Nr. 32 die zu [P2] in e gehörende
Spirale aus der Lage in et, in die sie durch die Drehung des Rau-
mes gebracht wurde, durch eine Streckung von 0 aus in die loga-
rithmische Krümmungslinie von [P%] in überführen. Der Faktor
dieser Streckung berechnet sich zu p = eaZsinö, wobei wieder a=cotga
durch den Schnittwinkel der Fläche bestimmt ist. q ist unab-
hängig von der Wahl von s, demnach wird die ganze Fläche [P2]
durch diese aus einer Drehung um den Winkel t und einer Strek-
kung mit dem Faktor p zusammengesetzte Kollineation in sich
transformiert. Damit ist die, nach dem Vorhergehenden einzige,
stetige Gruppe von Kollineationen gefunden, welche [P%\ in sich
überführt. Die Transformationsgleichungen lauten unter Verwen-
dung des (komplexen) Parameters t, wenn man pa als Z-Achse
wählt:
(57)
Die Ecken des zu (57) gehörenden Fundamentaltetraeders sind:
(7, der uneigentliche Punkt Px von pa und die Berührungspunkte
der Tangenten von an den absoluten Kegelschnitt.
Legt man im zweiten Falle die Achse pi von [A2] in die Ge-
rade #+/?/ = 0, 2 = 0, und wählt man eine Tangentialebene des
Kegels als Ebene ?/ = 0, dann hat [Äj2 die Gleichung
2?/2 — ‘lixy + z2 = 01.
Durch die Drehung um die Achse deren Gleichungen in Nr. 35
angegeben wurden, wird [Ä2] in sich gedreht, und zwar um den
auf dem Kegel gemessenen Winkel 2ü. Dies findet man einfach
1 Die X-Achse ist hier Berührungserzeugende der Ebene i/=0. Dies ist
ein spezieller Fall des Satzes: Berühren sich zwei Kegelschnitte in einem Punkte
vierpunktig mit der gemeinsamen Tangente t, dann fallen die beiden Polaren
jedes Punktes von t in bezug auf die beiden Kegelschnitte zusammen.
= eaisinö(£cos£ — 2/sinz) ,
Ä e^sinö(#sin t + ycost) ,
z = eat sinö • z
(A. 10) 61
Eine Isogonalfläche mit dem 74 genügenden Teile des Kegels [7^]
möge mit [P2] bezeichnet werden, a sei der Winkel zwischen den
Erzeugenden von [K2] und der anisotropen Kegelachse pa. Dreht
man den Raum mit pa als Achse um den (komplexen) Winkel
wodurch eine Tangentialebene e von [K„] in eine Tangentialebene
ex übergeht, dann läßt sich nach Nr. 32 die zu [P2] in e gehörende
Spirale aus der Lage in et, in die sie durch die Drehung des Rau-
mes gebracht wurde, durch eine Streckung von 0 aus in die loga-
rithmische Krümmungslinie von [P%] in überführen. Der Faktor
dieser Streckung berechnet sich zu p = eaZsinö, wobei wieder a=cotga
durch den Schnittwinkel der Fläche bestimmt ist. q ist unab-
hängig von der Wahl von s, demnach wird die ganze Fläche [P2]
durch diese aus einer Drehung um den Winkel t und einer Strek-
kung mit dem Faktor p zusammengesetzte Kollineation in sich
transformiert. Damit ist die, nach dem Vorhergehenden einzige,
stetige Gruppe von Kollineationen gefunden, welche [P%\ in sich
überführt. Die Transformationsgleichungen lauten unter Verwen-
dung des (komplexen) Parameters t, wenn man pa als Z-Achse
wählt:
(57)
Die Ecken des zu (57) gehörenden Fundamentaltetraeders sind:
(7, der uneigentliche Punkt Px von pa und die Berührungspunkte
der Tangenten von an den absoluten Kegelschnitt.
Legt man im zweiten Falle die Achse pi von [A2] in die Ge-
rade #+/?/ = 0, 2 = 0, und wählt man eine Tangentialebene des
Kegels als Ebene ?/ = 0, dann hat [Äj2 die Gleichung
2?/2 — ‘lixy + z2 = 01.
Durch die Drehung um die Achse deren Gleichungen in Nr. 35
angegeben wurden, wird [Ä2] in sich gedreht, und zwar um den
auf dem Kegel gemessenen Winkel 2ü. Dies findet man einfach
1 Die X-Achse ist hier Berührungserzeugende der Ebene i/=0. Dies ist
ein spezieller Fall des Satzes: Berühren sich zwei Kegelschnitte in einem Punkte
vierpunktig mit der gemeinsamen Tangente t, dann fallen die beiden Polaren
jedes Punktes von t in bezug auf die beiden Kegelschnitte zusammen.
= eaisinö(£cos£ — 2/sinz) ,
Ä e^sinö(#sin t + ycost) ,
z = eat sinö • z