Isogonalflächen eines Strahlenbündels.
(A. 10) 63
Dies folgt unmittelbar aus den Eigenschaften der Transfor-
mation durch reziproke Radien, die Geraden durch 0 in sich über-
zuführen und die Winkel zu erhalten. Die bekannten Transfor-
mationsgleichungen sind
In der Ebene entspricht einer logarithmischen Spirale mit
der GL (4) von Nr. 6 in der Transformation durch reziproke Ra-
dien eine logarithmische Spirale, in deren Gleichung die Konstan-
ten c0 und a von Gl. (4) durch die Werte l/c0 und — a zu ersetzen
sind* 1, wie man sofort aus den Gl. (59) für z=z1 = 0 erkennt. Da die
sphärische Krümmungslinie der Fläche [Pj, welche auf der Ein-
heitskugel um 0 liegt, zugleich sphärische Krümmungslinie der
Fläche [P]1 ist, ergibt sich daraus und aus dem 1. Satze von Nr.
31, daß [P] und [P]1 auch den Kegel [X] gemeinsam haben.
55. Wendet man dagegen auf [P] eine Transformation durch
reziproke Radien mit einem neuen Anfangspunkt M an, der nicht
auf dem isotropen Kegel mit der Spitze 0 liegt, dann geht der
Punkt 0 in einen eigentlichen Punkt N über, und man erhält eine
Fläche FC?], welche von allen Kreisen im Raume durch die zwei
festen, eigentlichen, nicht auf derselben isotropen Geraden lie-
genden Punkte M und N unter festem, anisotropem Winkel ge-
schnitten wird. Das ist die allgemeinste Fläche dieser Art, da man
jede Fläche in der eben angegebenen Weise durch Wahl eines
der zwei Festpunkte als Koordinatenanfangspunkt in eine Fläche
[Pj verwandeln kann.
Für die Übertragung von Eigenschaften der Flächen [P] auf
die Flächen [(>] mögen zwei Beispiele gebracht werden, deren
eines die Krümmungslinien, das andre eine allgemeine Erzeugung
der Flächen [()] liefert:
Typus gerechnet werden, nicht aber solche mit verschiedenen Kegeln [K~\,
ist darin begründet, daß der Schnittwinkel in den [P] bestimmenden Glei-
chungen eine Konstante liefert, [Z] dagegen eine Funktion. Vgl. Nr. 36 — 39.
1 D. i. im reellen Fall eine entgegengesetzt gewundene Spirale mit
demselben Schnittwinkel und demselben Einheitspunkt.
(A. 10) 63
Dies folgt unmittelbar aus den Eigenschaften der Transfor-
mation durch reziproke Radien, die Geraden durch 0 in sich über-
zuführen und die Winkel zu erhalten. Die bekannten Transfor-
mationsgleichungen sind
In der Ebene entspricht einer logarithmischen Spirale mit
der GL (4) von Nr. 6 in der Transformation durch reziproke Ra-
dien eine logarithmische Spirale, in deren Gleichung die Konstan-
ten c0 und a von Gl. (4) durch die Werte l/c0 und — a zu ersetzen
sind* 1, wie man sofort aus den Gl. (59) für z=z1 = 0 erkennt. Da die
sphärische Krümmungslinie der Fläche [Pj, welche auf der Ein-
heitskugel um 0 liegt, zugleich sphärische Krümmungslinie der
Fläche [P]1 ist, ergibt sich daraus und aus dem 1. Satze von Nr.
31, daß [P] und [P]1 auch den Kegel [X] gemeinsam haben.
55. Wendet man dagegen auf [P] eine Transformation durch
reziproke Radien mit einem neuen Anfangspunkt M an, der nicht
auf dem isotropen Kegel mit der Spitze 0 liegt, dann geht der
Punkt 0 in einen eigentlichen Punkt N über, und man erhält eine
Fläche FC?], welche von allen Kreisen im Raume durch die zwei
festen, eigentlichen, nicht auf derselben isotropen Geraden lie-
genden Punkte M und N unter festem, anisotropem Winkel ge-
schnitten wird. Das ist die allgemeinste Fläche dieser Art, da man
jede Fläche in der eben angegebenen Weise durch Wahl eines
der zwei Festpunkte als Koordinatenanfangspunkt in eine Fläche
[Pj verwandeln kann.
Für die Übertragung von Eigenschaften der Flächen [P] auf
die Flächen [(>] mögen zwei Beispiele gebracht werden, deren
eines die Krümmungslinien, das andre eine allgemeine Erzeugung
der Flächen [()] liefert:
Typus gerechnet werden, nicht aber solche mit verschiedenen Kegeln [K~\,
ist darin begründet, daß der Schnittwinkel in den [P] bestimmenden Glei-
chungen eine Konstante liefert, [Z] dagegen eine Funktion. Vgl. Nr. 36 — 39.
1 D. i. im reellen Fall eine entgegengesetzt gewundene Spirale mit
demselben Schnittwinkel und demselben Einheitspunkt.