Isogonalflächen eines Strahlenbündels.
(A. 10) 69
hindurchgehen, die Gerade g berühren und sich in den Punkten
Mv der Z-Achse mit den Koordinaten
._ a[a-^ + vit\
mv = (_. Ä;.]/l + a2 • e V ' v = 0,±1,±2,...
treffen. Das sind, außer im Falle der algebraischen Spiralen, wie-
der abzählbar unendlich viele Punkte.
60. Eine der beiden zuletzt erwähnten Spiralen sei (M). Es
soll die Kurve (M„) bestimmt werden, welche ihr Punkt Mv in der
FZ-Ebene beschreibt, während (Af) sich längs g fortbewegt. Nach
Nr. 56 bilden die beiden Radienvektoren der Spirale nach dem
Punkte von g und in der FZ-Ebene den festen Winkel tt/2 — a
miteinander, während andererseits nach Nr. 58 das Produkt dieser
beiden Radienvektoren bis zu ihren Schnittpunkten mit der Ebene
z = konstant ist. Durch eine einfache Rechnung folgt hieraus
und aus der Vorzeichenbemerkung von Nr. 57, daß Mv in der
FZ-Ebene einen Halbkreis mit dem Durchmesser OMV beschreibt.
Diese, im Falle der algebraischen Spiralen endliche, bei transzen-
denten Spiralen abzahlbar unendliche Menge von Halbkreisen bildet
zusammen mit der in Nr. 59 erwähnten Spirale den Schnitt der
YZ-Ebene mit der Fläche [Pi J-
Daraus folgt, daß außer den Geraden in der Ebene (O,g) keine
anisotropen Geraden auf [Px J in anisotropen Ebenen durch 0
liegen. Denn jede solche Gerade führt, als Leitlinie betrachtet,
nach Nr. 56 und 59 auf eine Doppeltangentialebene des Kegels (62),
Es gibt aber deren nur 2, die eine ist (0, g) und führt auf die
schon gefundenen Geraden, die andre ist die FZ-Ebene und in
dieser liegen, wie soeben gefunden wurde, keine Geraden.
In Nr. 62 wird gezeigt werden, daß auch in isotropen Ebenen
durch 0 keine anisotropen Geraden von [Pi,J auftreten können.
61. Es ist noch der in Nr. 57 vorläufig zurückgestellte Fall
einer Fläche [P] zu erledigen, welche eine Gerade gr enthält, die
mit 0 in einer isotropen Ebene liegt. [P13] bezeichne diese Fläche.
Das Koordinatensystem mit dem Anfangspunkt 0 sei hier so
gewählt, daß gx parallel zur Z-Achse ist und die AF-Ebene in dem
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hindurchgehen, die Gerade g berühren und sich in den Punkten
Mv der Z-Achse mit den Koordinaten
._ a[a-^ + vit\
mv = (_. Ä;.]/l + a2 • e V ' v = 0,±1,±2,...
treffen. Das sind, außer im Falle der algebraischen Spiralen, wie-
der abzählbar unendlich viele Punkte.
60. Eine der beiden zuletzt erwähnten Spiralen sei (M). Es
soll die Kurve (M„) bestimmt werden, welche ihr Punkt Mv in der
FZ-Ebene beschreibt, während (Af) sich längs g fortbewegt. Nach
Nr. 56 bilden die beiden Radienvektoren der Spirale nach dem
Punkte von g und in der FZ-Ebene den festen Winkel tt/2 — a
miteinander, während andererseits nach Nr. 58 das Produkt dieser
beiden Radienvektoren bis zu ihren Schnittpunkten mit der Ebene
z = konstant ist. Durch eine einfache Rechnung folgt hieraus
und aus der Vorzeichenbemerkung von Nr. 57, daß Mv in der
FZ-Ebene einen Halbkreis mit dem Durchmesser OMV beschreibt.
Diese, im Falle der algebraischen Spiralen endliche, bei transzen-
denten Spiralen abzahlbar unendliche Menge von Halbkreisen bildet
zusammen mit der in Nr. 59 erwähnten Spirale den Schnitt der
YZ-Ebene mit der Fläche [Pi J-
Daraus folgt, daß außer den Geraden in der Ebene (O,g) keine
anisotropen Geraden auf [Px J in anisotropen Ebenen durch 0
liegen. Denn jede solche Gerade führt, als Leitlinie betrachtet,
nach Nr. 56 und 59 auf eine Doppeltangentialebene des Kegels (62),
Es gibt aber deren nur 2, die eine ist (0, g) und führt auf die
schon gefundenen Geraden, die andre ist die FZ-Ebene und in
dieser liegen, wie soeben gefunden wurde, keine Geraden.
In Nr. 62 wird gezeigt werden, daß auch in isotropen Ebenen
durch 0 keine anisotropen Geraden von [Pi,J auftreten können.
61. Es ist noch der in Nr. 57 vorläufig zurückgestellte Fall
einer Fläche [P] zu erledigen, welche eine Gerade gr enthält, die
mit 0 in einer isotropen Ebene liegt. [P13] bezeichne diese Fläche.
Das Koordinatensystem mit dem Anfangspunkt 0 sei hier so
gewählt, daß gx parallel zur Z-Achse ist und die AF-Ebene in dem