Isogonalflächen eines Strahlenbündels.
(A. 10) 71
isotrope Ebene durch die Z-Achse in Betracht. Hierüber ist (mit
den Bezeichnungen von Nr. 61) das Folgende zu sagen:
Der Kegel (65) berührt den absoluten Kegelschnitt in dem
gleichen Punkte wie die Ebene (ö,^), daher gibt es von jedem
Punkte Tr nur eine von (D,öi) verschiedene Tangentialebene an
(65), nämlich die Ebene der logarithmischen Krümmungslinie
von 7\. Diese Ebene trifft die Gerade (64) in einem Punkt N±
und N1T1 ist die Tangente der logarithmischen Krümmungslinie
in die folglich eindeutig bestimmt ist.
Nun ist aber eine Fläche [Pj durch einen Punkt 7\, den Ke-
gel [A] und den Schnittwinkel a nach Nr. 31 nicht eindeutig be-
stimmt; man kann hier tatsächlich in der Spiralen ebene T1ONi
der Spirale als Tangente in die Spiegelung der Geraden an
OT\ vorschreiben1. Die so entstehende Fläche [AJ' hat zwar den
Kegel [A], den Punkt T\ und a mit [Pi(J gemeinsam, kann aber
nicht gt enthalten, da durch gt die Gerade und nicht als
Spiralentangente eindeutig festgelegt war. Die Fläche [Pj Jz ent-
hält demnach in der isotropen Ebene (ö,gi) keine anisotrope Ge-
rade, dagegen in der zweiten isotropen Ebene durch die Z-Achse
ebensoviele (zueinander parallele) anisotrope Gerade, als [Pi^] in
(D,gi), während auf [AJZ keine anisotropen Geraden außerhalb der
Ebene (O^g^ liegen.
Da eine Fläche [Px ], wie erwähnt, nicht gleichzeitig zu den
Flächen [PX>J gehören kann, enthält [Pi>J keine anisotrope Ge-
rade in einer isotropen Ebene durch O\ hieraus folgt in Anschluß
an Nr. 60, daß [Pt J keine anisotrope Gerade außerhalb der Ebene
(P^g) enthält.
63. Eine Fläche [P] kann nicht Regelfläche sein. Denn zu-
nächst wurde in Nr. 17 bewiesen, daß keine Fläche [P] eine iso-
trope Regelfläche sein kann. Enthält aber eine Fläche [PJ eine
anisotrope Gerade, dann ist sie nach den Betrachtungen dieses
Paragraphen eine Fläche [A.J oder [Pt)J und auf diesen liegt
nach Nr. 62 höchstens eine abzählbar unendliche Menge anisotroper
gerader Linien, womit auch der Fall der anisotropen Regelflächen
ausgeschlossen ist.
1 Was im Reellen der Umkehrung des Windungssinnes der Spirale
entspricht.
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isotrope Ebene durch die Z-Achse in Betracht. Hierüber ist (mit
den Bezeichnungen von Nr. 61) das Folgende zu sagen:
Der Kegel (65) berührt den absoluten Kegelschnitt in dem
gleichen Punkte wie die Ebene (ö,^), daher gibt es von jedem
Punkte Tr nur eine von (D,öi) verschiedene Tangentialebene an
(65), nämlich die Ebene der logarithmischen Krümmungslinie
von 7\. Diese Ebene trifft die Gerade (64) in einem Punkt N±
und N1T1 ist die Tangente der logarithmischen Krümmungslinie
in die folglich eindeutig bestimmt ist.
Nun ist aber eine Fläche [Pj durch einen Punkt 7\, den Ke-
gel [A] und den Schnittwinkel a nach Nr. 31 nicht eindeutig be-
stimmt; man kann hier tatsächlich in der Spiralen ebene T1ONi
der Spirale als Tangente in die Spiegelung der Geraden an
OT\ vorschreiben1. Die so entstehende Fläche [AJ' hat zwar den
Kegel [A], den Punkt T\ und a mit [Pi(J gemeinsam, kann aber
nicht gt enthalten, da durch gt die Gerade und nicht als
Spiralentangente eindeutig festgelegt war. Die Fläche [Pj Jz ent-
hält demnach in der isotropen Ebene (ö,gi) keine anisotrope Ge-
rade, dagegen in der zweiten isotropen Ebene durch die Z-Achse
ebensoviele (zueinander parallele) anisotrope Gerade, als [Pi^] in
(D,gi), während auf [AJZ keine anisotropen Geraden außerhalb der
Ebene (O^g^ liegen.
Da eine Fläche [Px ], wie erwähnt, nicht gleichzeitig zu den
Flächen [PX>J gehören kann, enthält [Pi>J keine anisotrope Ge-
rade in einer isotropen Ebene durch O\ hieraus folgt in Anschluß
an Nr. 60, daß [Pt J keine anisotrope Gerade außerhalb der Ebene
(P^g) enthält.
63. Eine Fläche [P] kann nicht Regelfläche sein. Denn zu-
nächst wurde in Nr. 17 bewiesen, daß keine Fläche [P] eine iso-
trope Regelfläche sein kann. Enthält aber eine Fläche [PJ eine
anisotrope Gerade, dann ist sie nach den Betrachtungen dieses
Paragraphen eine Fläche [A.J oder [Pt)J und auf diesen liegt
nach Nr. 62 höchstens eine abzählbar unendliche Menge anisotroper
gerader Linien, womit auch der Fall der anisotropen Regelflächen
ausgeschlossen ist.
1 Was im Reellen der Umkehrung des Windungssinnes der Spirale
entspricht.