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72 (A. 10)
Richard Baldus:
§ 14.
Der Fall des Drehkegels [K].
64. Als zweiter spezieller Fall soll die Fläche [P] untersucht
werden, für welche die Leitkurve eine logarithmische Spirale (D)
mit dem Pol 0 und dem anisotropen (von tt/2 verschiedenen)
Schnittwinkel /z ist.
Nach Nr. 26, Gl. (24) ist cos2 = cos/z/cosoc. Da /z anisotrop
ist und a nach Nr. 12, V2 kein ungerades ganzzahliges Vielfaches
von tt/2 ist, muß cos2 endlich und damit 2 anisotrop sein. Weil
/z und a konstant sind, gilt dies auch für 2, d. h. der Winkel zwi-
schen der Tangente td der Leitspirale (7)) und der Tangentr tl der
erzeugenden Spirale (L) (welche die logarithmischen Krümmungs-
linien liefert) ist für alle Punkte von (P) derselbe, das Dreikant
r, td, tt ist für die ganze Kurve (P) fest. Dann ist aber auch der
Winkel fest, den in einem Punkte von (P) die Normale nd der
Ebene (r,^), in der (P) liegt, mit der Normalen tzz der Ebene
(r, £z), welche (P) enthält, bildet, und zwar ist, wie man einfach
berechnet, der cos dieses Winkels gleich tga/tg/z. Daraus folgt,
daß der Kegel [K] dieser Fläche [P] ein Drehkegel ist. Die Er-
zeugenden schließen mit der Achse einen Winkel a ein, der ge-
geben ist durch sin a = tga/tg/z. Man erkennt sofort, wie oben
bei 2, daß auch o anisotrop ist, woraus nach Nr. 1 auch der an-
isotrope Charakter der Kegelachse folgt. Die Spirale (P) liegt in
der 0 enthaltenden Normalebene zur Achse des Kegels. Dies gibt
mit Nr. 53 zusammengefaßt:
[P*] ist die einzige Fläche [P], die außer den logarithmischen
Krümmungslinien noch eine anisotrope logarithmische Spirale (D) mit
dem Pol 0 enthält. (D} liegt in der Normalebene zur Achse von [K%].
Damit ist auch gezeigt, daß die in Nr. 26 betrachteten Iso-
gonaltrajektorien der Krümmungslinien immer unebene Kurven
sind, den einzigen Fall der Isogonaltrajektorien ausgenommen, die
bei der Fläche [P^] in der durch 0 gelegten Normalebene zur
Kegelachse liegen.
65. [P„] wird nach § 11 durch die Kollineationen (57) in sich
übergeführt und durch keine weitere kontinuierliche Gruppe von
Kollineationen. [P«] ist demnach keine IF-Fläche im Klein-Lie-
72 (A. 10)
Richard Baldus:
§ 14.
Der Fall des Drehkegels [K].
64. Als zweiter spezieller Fall soll die Fläche [P] untersucht
werden, für welche die Leitkurve eine logarithmische Spirale (D)
mit dem Pol 0 und dem anisotropen (von tt/2 verschiedenen)
Schnittwinkel /z ist.
Nach Nr. 26, Gl. (24) ist cos2 = cos/z/cosoc. Da /z anisotrop
ist und a nach Nr. 12, V2 kein ungerades ganzzahliges Vielfaches
von tt/2 ist, muß cos2 endlich und damit 2 anisotrop sein. Weil
/z und a konstant sind, gilt dies auch für 2, d. h. der Winkel zwi-
schen der Tangente td der Leitspirale (7)) und der Tangentr tl der
erzeugenden Spirale (L) (welche die logarithmischen Krümmungs-
linien liefert) ist für alle Punkte von (P) derselbe, das Dreikant
r, td, tt ist für die ganze Kurve (P) fest. Dann ist aber auch der
Winkel fest, den in einem Punkte von (P) die Normale nd der
Ebene (r,^), in der (P) liegt, mit der Normalen tzz der Ebene
(r, £z), welche (P) enthält, bildet, und zwar ist, wie man einfach
berechnet, der cos dieses Winkels gleich tga/tg/z. Daraus folgt,
daß der Kegel [K] dieser Fläche [P] ein Drehkegel ist. Die Er-
zeugenden schließen mit der Achse einen Winkel a ein, der ge-
geben ist durch sin a = tga/tg/z. Man erkennt sofort, wie oben
bei 2, daß auch o anisotrop ist, woraus nach Nr. 1 auch der an-
isotrope Charakter der Kegelachse folgt. Die Spirale (P) liegt in
der 0 enthaltenden Normalebene zur Achse des Kegels. Dies gibt
mit Nr. 53 zusammengefaßt:
[P*] ist die einzige Fläche [P], die außer den logarithmischen
Krümmungslinien noch eine anisotrope logarithmische Spirale (D) mit
dem Pol 0 enthält. (D} liegt in der Normalebene zur Achse von [K%].
Damit ist auch gezeigt, daß die in Nr. 26 betrachteten Iso-
gonaltrajektorien der Krümmungslinien immer unebene Kurven
sind, den einzigen Fall der Isogonaltrajektorien ausgenommen, die
bei der Fläche [P^] in der durch 0 gelegten Normalebene zur
Kegelachse liegen.
65. [P„] wird nach § 11 durch die Kollineationen (57) in sich
übergeführt und durch keine weitere kontinuierliche Gruppe von
Kollineationen. [P«] ist demnach keine IF-Fläche im Klein-Lie-