DOI Seite / Zitierlink:
https://doi.org/10.11588/diglit.56264#0077
Tsogonalflächen eines Strahlenbündels.
(A. 10) 77
c) Zu jeder Kurve auf [Pf], die nicht VF-Kurve ist, gibt es
eine kontinuierlich unendliche Menge ähnlicher Kurven auf der
Fläche.
d) Die Schnitte der Fläche mit anisotropen Ebenen durch pa
sind nur im Maßstabe voneinander verschieden. Ebenso schneiden
alle pa nicht enthaltenden Ebenen durch (9, welche mit pa den
gleichen anisotropen Winkel einschließen, [Pf] in ähnlichen Kurven.
e) Die Haupttangentenkurven jeder Schar sind einander
ähnlich.
f) Längs jeder Kurve (FF) auf [Pf] bilden die Haupttangen-
ten miteinander denselben Winkel.
g) Die Tangentialebenen von [P^] in den Punkten einer Kurve
(FF) der Fläche sind Schmiegungsebenen einer FF-Kurve des Sy-
stems der Transformationen.
h) In den Punkten einer Kurve (FF) der Fläche bilden die
Haupttangenten jeder Schar eine Regelfläche [7?] von Nr. 68, des-
gleichen die Tangenten der logarithmischen und die der sphäri-
schen Krümmungslinien sowie die Flächennormalen.
Die Betrachtungen für die Fläche [Pf] mit den, ebenfalls
winkeltreuen Transformationen (58) gestalten sich ganz ähnlich,
doch fehlt hier ein metrisches Analogon zur Ebene co. Die FF-
Kurven wurden in Nr. 66 angegeben. Die Sätze a) und h) fallen
hier weg, von b) gilt der zweite Teil für die Achse pf, von d) der
erste Teil, während c), e), f), g) auch für [Pf] zutreffen.
70. Zum Schlüsse sei noch eine allgemeinere, für die Flächen
[Pf] und [Pf] charakteristische Eigenschaft abgeleitet.
Die logarithmische Spirale ist die einzige Kurve in der Ebene,
welche die Eigenschaft hat, daß sie, durch eine beliebige (kom-
plexe) Drehung um einen eigentlichen Punkt 0 (ihren Pol) aus
ihrer ursprünglichen Lage verschoben, durch eine Streckung von
O aus wieder mit ihrer Ausgangslage zur Deckung gebracht wer-
den kann. Analog sind die FF-Kurven der Transformationen (57)
und (58) die einzigen unebenen Raumkurven von der Eigenschaft,
daß für sie jede Drehung um eine feste, eigentliche Achse durch
eine (vom Betrage der Drehung abhängige) Streckung von einem
festen, eigentlichen Punkt 0 dieser Achse aus aufgehoben wird.
Dieselbe Eigenschaft hat demnach auch jede Fläche, welche aus
einer Schar von FF-Kurven der Systeme (57) oder (58) besteht.
(A. 10) 77
c) Zu jeder Kurve auf [Pf], die nicht VF-Kurve ist, gibt es
eine kontinuierlich unendliche Menge ähnlicher Kurven auf der
Fläche.
d) Die Schnitte der Fläche mit anisotropen Ebenen durch pa
sind nur im Maßstabe voneinander verschieden. Ebenso schneiden
alle pa nicht enthaltenden Ebenen durch (9, welche mit pa den
gleichen anisotropen Winkel einschließen, [Pf] in ähnlichen Kurven.
e) Die Haupttangentenkurven jeder Schar sind einander
ähnlich.
f) Längs jeder Kurve (FF) auf [Pf] bilden die Haupttangen-
ten miteinander denselben Winkel.
g) Die Tangentialebenen von [P^] in den Punkten einer Kurve
(FF) der Fläche sind Schmiegungsebenen einer FF-Kurve des Sy-
stems der Transformationen.
h) In den Punkten einer Kurve (FF) der Fläche bilden die
Haupttangenten jeder Schar eine Regelfläche [7?] von Nr. 68, des-
gleichen die Tangenten der logarithmischen und die der sphäri-
schen Krümmungslinien sowie die Flächennormalen.
Die Betrachtungen für die Fläche [Pf] mit den, ebenfalls
winkeltreuen Transformationen (58) gestalten sich ganz ähnlich,
doch fehlt hier ein metrisches Analogon zur Ebene co. Die FF-
Kurven wurden in Nr. 66 angegeben. Die Sätze a) und h) fallen
hier weg, von b) gilt der zweite Teil für die Achse pf, von d) der
erste Teil, während c), e), f), g) auch für [Pf] zutreffen.
70. Zum Schlüsse sei noch eine allgemeinere, für die Flächen
[Pf] und [Pf] charakteristische Eigenschaft abgeleitet.
Die logarithmische Spirale ist die einzige Kurve in der Ebene,
welche die Eigenschaft hat, daß sie, durch eine beliebige (kom-
plexe) Drehung um einen eigentlichen Punkt 0 (ihren Pol) aus
ihrer ursprünglichen Lage verschoben, durch eine Streckung von
O aus wieder mit ihrer Ausgangslage zur Deckung gebracht wer-
den kann. Analog sind die FF-Kurven der Transformationen (57)
und (58) die einzigen unebenen Raumkurven von der Eigenschaft,
daß für sie jede Drehung um eine feste, eigentliche Achse durch
eine (vom Betrage der Drehung abhängige) Streckung von einem
festen, eigentlichen Punkt 0 dieser Achse aus aufgehoben wird.
Dieselbe Eigenschaft hat demnach auch jede Fläche, welche aus
einer Schar von FF-Kurven der Systeme (57) oder (58) besteht.