Über Scharen gleichberechtigter Koordinatensysteme.
(A.3) 5
wenn a = Winkel (xx'^, q (a), eindeutige analytische, stets
positive Funktionen des Parameters a sind, die die Einheits-
strecken des gestrichenen Systems bestimmen — wir wollen sie
deshalb Eichfaktoren nennen —, und f(a) eine ebenfalls eindeutige
analytische Funktion von a, nämlich = Winkel (2/2/) ist. Beurteilt
nach dem durch das £2/-System festgelegten positiven Drehungs-
sinn, haben die Winkel a und /(a) einen bestimmten positiven
oder negativen Wert, Null nicht ausgeschlossen. Für a = 0 ergibt
sich, wie gefordert wurde, die identische Substitution, falls die
Funktionen Q,<r,f so bestimmt werden, daß q (0) = <j(0) = 1,
f (0) = 0 ist.
Ersetzt man in den Gleichungen (4) a durch — a, so geht man
also von x, y zu einem System x~', y~' über durch die Gleichungen
(5)
x = x ’ o (— a) cos a — y a) sin /(— a)
y — — X~' q (—a) sin a + y~’ G(~a) cos / (~a) •
Andrerseits folgt aus (4) durch Umkehrung, d. h. Auflösung nach
< y'-
(6)
x cos f(a) 2/sin/(a)
q (a) cos (a — f(a)} q (a) cos (a —
— x sin a y cos a
o(a) cos(a—/(a)) o (a) cos (a—f (a))
Die Koeffizienten der Gleichungssysteme (5) und (6) müssen aber
miteinander identisch sein, da auch beim Übergang von x , y' zu
x, y der Parameter gleich Winkel (x' x) = — a ist und die Substitu-
tion eindeutig durch den Parameter bestimmt sein sollte. Die in-
» verse Substitution zu ist also {/^(— a)}. Durch Vergleichung
der Koeffizienten von (5) und (6) aber ergibt sich
/r,\ / \ / \ cos/(a)
(7) 0 (a) p (—a) =-/ '-v ,
' ' ' ’ ' 1 cos a cos(a—/(a))
.. / \ / \ — sin f(a)
(8) Q (a) G(“a) = \xV ’
x ’ \ / \ / sm/[—a) cos (a—/(a)J
(A.3) 5
wenn a = Winkel (xx'^, q (a), eindeutige analytische, stets
positive Funktionen des Parameters a sind, die die Einheits-
strecken des gestrichenen Systems bestimmen — wir wollen sie
deshalb Eichfaktoren nennen —, und f(a) eine ebenfalls eindeutige
analytische Funktion von a, nämlich = Winkel (2/2/) ist. Beurteilt
nach dem durch das £2/-System festgelegten positiven Drehungs-
sinn, haben die Winkel a und /(a) einen bestimmten positiven
oder negativen Wert, Null nicht ausgeschlossen. Für a = 0 ergibt
sich, wie gefordert wurde, die identische Substitution, falls die
Funktionen Q,<r,f so bestimmt werden, daß q (0) = <j(0) = 1,
f (0) = 0 ist.
Ersetzt man in den Gleichungen (4) a durch — a, so geht man
also von x, y zu einem System x~', y~' über durch die Gleichungen
(5)
x = x ’ o (— a) cos a — y a) sin /(— a)
y — — X~' q (—a) sin a + y~’ G(~a) cos / (~a) •
Andrerseits folgt aus (4) durch Umkehrung, d. h. Auflösung nach
< y'-
(6)
x cos f(a) 2/sin/(a)
q (a) cos (a — f(a)} q (a) cos (a —
— x sin a y cos a
o(a) cos(a—/(a)) o (a) cos (a—f (a))
Die Koeffizienten der Gleichungssysteme (5) und (6) müssen aber
miteinander identisch sein, da auch beim Übergang von x , y' zu
x, y der Parameter gleich Winkel (x' x) = — a ist und die Substitu-
tion eindeutig durch den Parameter bestimmt sein sollte. Die in-
» verse Substitution zu ist also {/^(— a)}. Durch Vergleichung
der Koeffizienten von (5) und (6) aber ergibt sich
/r,\ / \ / \ cos/(a)
(7) 0 (a) p (—a) =-/ '-v ,
' ' ' ’ ' 1 cos a cos(a—/(a))
.. / \ / \ — sin f(a)
(8) Q (a) G(“a) = \xV ’
x ’ \ / \ / sm/[—a) cos (a—/(a)J