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https://doi.org/10.11588/diglit.56257#0013
Über Scharen gleichberechtigter Koordinatensysteme. (A. 3) 13
VI. Zusammenfassung.
Als Gesamtresultat ergibt sich also: Mit einem gleichseitig
orthogonalen Koordinatensystem xy sind folgende Systeme und nur
diese gleichberechtigt:
1. Alle Systeme, deren Achsen mit denen des rry-Kreuzes
einschließlich des Richtungssinnes zusammenfallen, bei denen
aber die Einheitsstrecken auf der einen Achse stets verkürzt, auf
der andern im gleichen Verhältnis verlängert sind.
2. Alle Systeme, deren Achsenkreuze eine parabolische In-
volution bilden, wobei auf der allen gemeinsamen Achse auch der
Einheitspunkt allen Systemen gemeinsam ist, während die Ein-
heitspunkte der andern Achsen auf einer Parallelen zu der gemein-
samen Achse liegen. (Galilei-Newton sehe Zeit-Längen-Welt.)
3. Alle Systeme, deren Achsenkreuze eine elliptische Involu-
tion bilden, und bei denen die Einheitspunkte jeder der beiden
Achsen auf je einer von zwei ähnlichen und ähnlich liegenden
Ellipsen liegen, die in einen Kreis zusammenfallen können. (Länge
und Breite in einer Ebene.) Je nach dem Wert k des beiden Ellip-
sen gemeinsamen Achsenverhältnisses sondern sich diese mit xy
gleichberechtigten Systeme in unendlich viele Scharen unterein-
ander gleichberechtigter Systeme.
4. Alle Systeme, deren Achsenkreuze eine hyperbolische In-
volution bilden, und bei denen die Einheitspunkte jeder der beiden
Achsen auf je einem Hyperbelast liegen, deren jeder konjugiert
ist zu einem, dem andern ähnlichen und zu ihm ähnlich liegenden
Hyperbelast. Beide Hyperbeläste können speziell zwei zueinander
konjugierten gleichseitigen Hyperbeln angehören. (Lorentz-
Einstein sehe Zeit-Längen-Welt.) Je nach dem Wert k des beiden
Hyperbelpaaren gemeinsamen Achsenverhältnisses sondern sich
diese mit xy gleichberechtigten Systeme in unendlich viele Scha-
ren untereinander gleichberechtigter Systeme.
Nimmt man in die Definition der gleichberechtigten Koordi-
natensysteme noch die Bestimmung auf, daß jedes der Systeme
gleichseitig sein soll, so fallen die Fälle 1. und 2. fort, und von 3.
und 4. bleiben nur die hervorgehobenen Spezialfälle übrig, d. h.
die durch beliebige Drehung aus dem gleichseitig orthogonalen
Ausgangssystem entstehenden Systeme mit einem Kreis als ge-
VI. Zusammenfassung.
Als Gesamtresultat ergibt sich also: Mit einem gleichseitig
orthogonalen Koordinatensystem xy sind folgende Systeme und nur
diese gleichberechtigt:
1. Alle Systeme, deren Achsen mit denen des rry-Kreuzes
einschließlich des Richtungssinnes zusammenfallen, bei denen
aber die Einheitsstrecken auf der einen Achse stets verkürzt, auf
der andern im gleichen Verhältnis verlängert sind.
2. Alle Systeme, deren Achsenkreuze eine parabolische In-
volution bilden, wobei auf der allen gemeinsamen Achse auch der
Einheitspunkt allen Systemen gemeinsam ist, während die Ein-
heitspunkte der andern Achsen auf einer Parallelen zu der gemein-
samen Achse liegen. (Galilei-Newton sehe Zeit-Längen-Welt.)
3. Alle Systeme, deren Achsenkreuze eine elliptische Involu-
tion bilden, und bei denen die Einheitspunkte jeder der beiden
Achsen auf je einer von zwei ähnlichen und ähnlich liegenden
Ellipsen liegen, die in einen Kreis zusammenfallen können. (Länge
und Breite in einer Ebene.) Je nach dem Wert k des beiden Ellip-
sen gemeinsamen Achsenverhältnisses sondern sich diese mit xy
gleichberechtigten Systeme in unendlich viele Scharen unterein-
ander gleichberechtigter Systeme.
4. Alle Systeme, deren Achsenkreuze eine hyperbolische In-
volution bilden, und bei denen die Einheitspunkte jeder der beiden
Achsen auf je einem Hyperbelast liegen, deren jeder konjugiert
ist zu einem, dem andern ähnlichen und zu ihm ähnlich liegenden
Hyperbelast. Beide Hyperbeläste können speziell zwei zueinander
konjugierten gleichseitigen Hyperbeln angehören. (Lorentz-
Einstein sehe Zeit-Längen-Welt.) Je nach dem Wert k des beiden
Hyperbelpaaren gemeinsamen Achsenverhältnisses sondern sich
diese mit xy gleichberechtigten Systeme in unendlich viele Scha-
ren untereinander gleichberechtigter Systeme.
Nimmt man in die Definition der gleichberechtigten Koordi-
natensysteme noch die Bestimmung auf, daß jedes der Systeme
gleichseitig sein soll, so fallen die Fälle 1. und 2. fort, und von 3.
und 4. bleiben nur die hervorgehobenen Spezialfälle übrig, d. h.
die durch beliebige Drehung aus dem gleichseitig orthogonalen
Ausgangssystem entstehenden Systeme mit einem Kreis als ge-