Über Scharen gleichberechtigter Koordinatensysteme.
(A.3) 9
(31) D (v) = ----- , D (- v) = —7= p, (v)2.
' ' v/ /z(z>)2 V /z(-^)2 V/
Wäre D(v) ungleich 1, also etwa D(z>)>1, 7) (— v) daher < 1, so
wäre der Gesamtheit der Koordinatensysteme ..., xy, x yr, ...,
von welchem man auch ausginge, ein bestimmter „Richtungssinn“
aufgeprägt, indem bei Durchlaufen der Substitutionen {/;Ä(^)}
mit wachsendem Parameter die Determinante stets wüchse, im
entgegengesetzten Sinn stets abnähme. Um dies zu vermeiden,
wurde in die Definition der gleichberechtigten Koordinatensysteme
die Bestimmung aufgenommen, daß die Determinante der Sub-
stitution = 1 sein soll. Dann aber ist /z(^) = 1. Somit haben wir
das Resultat:
Abgesehen von dem Fall der Koinzidenz aller Achsenpaare, bilden
die Koordinatensysteme ..., x~'y~', xy,x'y'’, ..., von denen eines
gleichseitig orthogonal ist, dann und nur dann eine Schar gleichbe-
rechtigter Systeme, wenn
(32)
wobei c eine willkürliche Konstante und
1/ 2) 4- V \
fik h--
\ 1 — cvv / J
ist.
III. Der parabolische Fall c = 0.
Die Substitution (32) und die Schar der gleichberechtigten
Koordinatensysteme hat einen wesentlich andern Charakter, je
nachdem c = 0, >0 oder < 0 ist.
Ist c = 0, so lautet die Schar der Koordinatentransformationen
(34) {
X = X
y + vx + y',
(A.3) 9
(31) D (v) = ----- , D (- v) = —7= p, (v)2.
' ' v/ /z(z>)2 V /z(-^)2 V/
Wäre D(v) ungleich 1, also etwa D(z>)>1, 7) (— v) daher < 1, so
wäre der Gesamtheit der Koordinatensysteme ..., xy, x yr, ...,
von welchem man auch ausginge, ein bestimmter „Richtungssinn“
aufgeprägt, indem bei Durchlaufen der Substitutionen {/;Ä(^)}
mit wachsendem Parameter die Determinante stets wüchse, im
entgegengesetzten Sinn stets abnähme. Um dies zu vermeiden,
wurde in die Definition der gleichberechtigten Koordinatensysteme
die Bestimmung aufgenommen, daß die Determinante der Sub-
stitution = 1 sein soll. Dann aber ist /z(^) = 1. Somit haben wir
das Resultat:
Abgesehen von dem Fall der Koinzidenz aller Achsenpaare, bilden
die Koordinatensysteme ..., x~'y~', xy,x'y'’, ..., von denen eines
gleichseitig orthogonal ist, dann und nur dann eine Schar gleichbe-
rechtigter Systeme, wenn
(32)
wobei c eine willkürliche Konstante und
1/ 2) 4- V \
fik h--
\ 1 — cvv / J
ist.
III. Der parabolische Fall c = 0.
Die Substitution (32) und die Schar der gleichberechtigten
Koordinatensysteme hat einen wesentlich andern Charakter, je
nachdem c = 0, >0 oder < 0 ist.
Ist c = 0, so lautet die Schar der Koordinatentransformationen
(34) {
X = X
y + vx + y',