§ 1.
Einführung der Funktion
Sei £ eine beliebige irrationale Zahl. Sei ferner c eine positive
Zahl derart, daß die Ungleichung
1
L
(i
für. unendlich viele Paare ganzer Zahlen p, q besteht; beispiels-
weise ist bekanntlich c=l eine solche Zahl. Ist die Menge all die-
ser Zahlen c beschränkt, so bezeichnen wir ihre obere Grenze mit
ist sie nicht beschränkt, so setzen wir J/(£)=oo. Hiernach
wird, wenn Jf(£) = oo ist, die Ungleichung
£
q
6
7’
wie klein auch e (>0) sei, stets durch unendlich viele Paare ganzer
Zahlen p, q erfüllt. Ist endlich, so wird die Ungleichung
1 + 5
q M&q*
durch unendlich viele Paare ganzer Zahlen p, q befriedigt, die Un-
gleichung
1~e
* q
dagegen nicht. Zweifelhaft bleibt die Sache bei der Ungleichung
1 < '
Wir werden sehen, daß es sowohl Zahlen £ gibt, für welche diese
Ungleichung durch unendlich viele Paare ganzer Zahlen p, q er-
füllt wird, als auch Zahlen £, für die das nicht der Fall ist.
i*
Einführung der Funktion
Sei £ eine beliebige irrationale Zahl. Sei ferner c eine positive
Zahl derart, daß die Ungleichung
1
L
(i
für. unendlich viele Paare ganzer Zahlen p, q besteht; beispiels-
weise ist bekanntlich c=l eine solche Zahl. Ist die Menge all die-
ser Zahlen c beschränkt, so bezeichnen wir ihre obere Grenze mit
ist sie nicht beschränkt, so setzen wir J/(£)=oo. Hiernach
wird, wenn Jf(£) = oo ist, die Ungleichung
£
q
6
7’
wie klein auch e (>0) sei, stets durch unendlich viele Paare ganzer
Zahlen p, q erfüllt. Ist endlich, so wird die Ungleichung
1 + 5
q M&q*
durch unendlich viele Paare ganzer Zahlen p, q befriedigt, die Un-
gleichung
1~e
* q
dagegen nicht. Zweifelhaft bleibt die Sache bei der Ungleichung
1 < '
Wir werden sehen, daß es sowohl Zahlen £ gibt, für welche diese
Ungleichung durch unendlich viele Paare ganzer Zahlen p, q er-
füllt wird, als auch Zahlen £, für die das nicht der Fall ist.
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