Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

Über die Approximation irrationaler Zahlen durch rationale.

(A.4) 5

(3) ^+1 ■+-B “ Qv ’
so ist nach (2)
1
Bv qvBI '
und daher
(4) M (£) = lim sup qv .
p=oo
In (3) kann man die Glieder der linken Seite durch Ketten-
brüche ausdrücken und erhält:

(5) Qv = [bv+1, bv+2, bv+3,...] + [0, bv, bv_±, ..., y .

Aus (4) und (5) ergibt sich sofort
Satz 1. Wenn die Teilnenner des regelmäßigen Kettenbruches
l = Po, &1,
beschränkt sind, ist M (£) endlich. Gibt es dagegen beliebig große
Teilnenner, so ist M — oo.
Nennt man, wie üblich, zwei irrationale Zahlen £, 77 mitein-
ander äquivalent, wenn zwischen ihnen eine Relation der Form

n =-, ad — c = ± 1
cl~ + d
mit ganzzahligen a,b,c,d besteht, so stimmen die Kettenbrüche
für zwei äquivalente Zahlen von einer gewissen Stelle an überein5.
Aus (4) und (5) folgt daher leicht
Satz 2. Sind zwei miteinander äquivalente Zahlen, so ist
Hiernach könnte man die Funktion J/(f) eine reelle Modul-
funktion nennen, weshalb ich sie auch mit M bezeichnet habe.

5 a. a. O. Seite 65, Satz 23.