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https://doi.org/10.11588/diglit.43563#0020
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0. Perron:
wenn die tv geeignete Konstanten sind, eine Q-Funktion
dar, die gerade die Null stellen clt C2, C3, ... hat, und zwar
jede so oft, wie siehingeschrieben ist. Die allgemeinste
Q-Funktion mit denselben Nullstellen ergibt sich dann
aus u durch Multiplikation mit einer be liebigen nirgends
verschwindenden Q-Funktion.1)
Zum Beweis bemerke man zunächst, daß die einzelnen Faktoren
des Produkts in der durch die Rückkehrschnitte b^ zerschnittenen
Fläche eindeutige und abgesehen von q reguläre Funktionen sind, und
zwar hat der Faktor
c/P x)
e
die einzige Nullstelle cx (von erster Ordnung); das ergibt sich sofort
aus § 3, III, insbesondere Formel (25). Nunmehr ist zu zeigen, daß
das Produkt in jedem endlichen Bereich |Cj<^-# absolut und gleich-
mäßig konvergiert. Aber von einem gewissen x an ist ja sicher
|yx!)>2R, so daß die Abschätzungsformel (34) angewandt werden
darf, aus welcher folgt:
^2^
1
I v In
I i x
x4uf Grund der Voraussetzungen von Satz 4 folgt aber hieraus bereits
die absolute und gleichmäßige Konvergenz des Produktes.
x) Die in § 1 erwähnten Produktentwicklungen von Appell und Günther
unterscheiden sich, von der hier gegebenen hauptsächlich in zwei Punkten.
Erstens ist dabei nicht von der Konvergenz der obigen Reihe die Rede; aber
gerade durch das Auftreten dieser Reihe wird die Analogie mit dem Weier-
STRASSschen Satz eine vollkommene. Zweitens sind bei Appell und Günther
die einzelnen Faktoren des Produktes selbst Q - Funktionen, was durch Auf-
nahme von Integralen zweiter Gattung im Exponenten von e erreicht wird,
ähnlich wie oben in Satz 3. Aber diesem Vorteil steht der erhebliche Nach-
teil gegenüber, daß die Ordnung dieser Faktoren (§ 9) unter Umständen unnötig
hoch wird; im allgemeinen wird sie nämlich mindestens gleich der größten
fehlenden Ordnungszahl q sein, weil im Exponenten auch das Integral
Vorkommen wird, das ja einen Pol der Ordnung q hat. Die Darstellungen
von Appell und Günther werden daher unbrauchbar, wenn man Funktionen
von geringerer Ordnung sucht, und man kann deshalb von diesen Darstellungen
aus nicht zu den Resultaten des .§ 9 gelangen, die mir doch sehr bemerkenswert
scheinen.
Appell bemerkt auch, daß die allgemeinste Q - Funktion mit gegebenen
Nullstellen aus einer speziellen hervorgeht durch Multiplikation mit ev, wo v
eine Q-Funktion. Diese Angabe bedarf der Berichtigung, die sich ohne weiteres
aus unserem Satz 2 ergibt.
0. Perron:
wenn die tv geeignete Konstanten sind, eine Q-Funktion
dar, die gerade die Null stellen clt C2, C3, ... hat, und zwar
jede so oft, wie siehingeschrieben ist. Die allgemeinste
Q-Funktion mit denselben Nullstellen ergibt sich dann
aus u durch Multiplikation mit einer be liebigen nirgends
verschwindenden Q-Funktion.1)
Zum Beweis bemerke man zunächst, daß die einzelnen Faktoren
des Produkts in der durch die Rückkehrschnitte b^ zerschnittenen
Fläche eindeutige und abgesehen von q reguläre Funktionen sind, und
zwar hat der Faktor
c/P x)
e
die einzige Nullstelle cx (von erster Ordnung); das ergibt sich sofort
aus § 3, III, insbesondere Formel (25). Nunmehr ist zu zeigen, daß
das Produkt in jedem endlichen Bereich |Cj<^-# absolut und gleich-
mäßig konvergiert. Aber von einem gewissen x an ist ja sicher
|yx!)>2R, so daß die Abschätzungsformel (34) angewandt werden
darf, aus welcher folgt:
^2^
1
I v In
I i x
x4uf Grund der Voraussetzungen von Satz 4 folgt aber hieraus bereits
die absolute und gleichmäßige Konvergenz des Produktes.
x) Die in § 1 erwähnten Produktentwicklungen von Appell und Günther
unterscheiden sich, von der hier gegebenen hauptsächlich in zwei Punkten.
Erstens ist dabei nicht von der Konvergenz der obigen Reihe die Rede; aber
gerade durch das Auftreten dieser Reihe wird die Analogie mit dem Weier-
STRASSschen Satz eine vollkommene. Zweitens sind bei Appell und Günther
die einzelnen Faktoren des Produktes selbst Q - Funktionen, was durch Auf-
nahme von Integralen zweiter Gattung im Exponenten von e erreicht wird,
ähnlich wie oben in Satz 3. Aber diesem Vorteil steht der erhebliche Nach-
teil gegenüber, daß die Ordnung dieser Faktoren (§ 9) unter Umständen unnötig
hoch wird; im allgemeinen wird sie nämlich mindestens gleich der größten
fehlenden Ordnungszahl q sein, weil im Exponenten auch das Integral
Vorkommen wird, das ja einen Pol der Ordnung q hat. Die Darstellungen
von Appell und Günther werden daher unbrauchbar, wenn man Funktionen
von geringerer Ordnung sucht, und man kann deshalb von diesen Darstellungen
aus nicht zu den Resultaten des .§ 9 gelangen, die mir doch sehr bemerkenswert
scheinen.
Appell bemerkt auch, daß die allgemeinste Q - Funktion mit gegebenen
Nullstellen aus einer speziellen hervorgeht durch Multiplikation mit ev, wo v
eine Q-Funktion. Diese Angabe bedarf der Berichtigung, die sich ohne weiteres
aus unserem Satz 2 ergibt.