Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

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Heinrich Liebmann:

-G-i = y cp (x, y, ym ■ ■ y(r'2)) + ip (x, y, yw ■ ■ y(r'*}\
wenn die (r —2)-mal erweiterte Gruppe in den Koordinaten
(1) dw (r-2) ,r’2
x,y,y y -C1 y_
aX clxr-2
der Elemente er-2 transitiv ist.

Dieser Satz steht im Vordergrund; daß sich dann cp und ip durch
Quadraturen bestimmen lassen, ist sehr leicht nachzuweisen; ebenso
auch, daß das „invariante Bogenelement“ durch Quadratur bestimmt
ist und die höheren Differentialinvarianten durch Differentiation sie-
fanden werden.

2. Die Aufspaltung der höheren Klammerrelationen.
Die Zuwachsgrößen
(1) (2) (m)
G • ■ y
der Differentialquotienten
(1) (2) (m)
y ,y ■• y • •
bei der eingliedrigen Gruppe
JT (f\ _ | V
ÖX +’?<?!/
sind bekanntlich gegeben durch
(m) = drßm'1') _ (TO) dj
' d dx
und sind (wenn w i> 2) linear in y(l"\ Es ist also, wenn r^3
(1) = y(r'1} a(x,y,y{r> ■ ■ y{r'2)) + ß(x,y,yW
Außer diesem einfachen Gesetz ist eine bekannte Eigenschaft der
durch Hinzunahme von y(>"} erweiterten Gruppe
heranzuziehen — man könnte sie die „Einordnung der erweiterten
Gruppe“ nennen. Sie kommt in der Formel
(2)
zum Ausdruck.1)
b Zur Beziehung (2) gelangt man leicht auf folgendem Weg. Man geht
aus von der durch Schluß von n auf n -ff 1 zu erweisenden Beziehung
Üin) (/) = U(w + 1)^hr
dx v 7 \dxj clx dx
Hiernach ist wegen
(n + 1) d^ (n + i)df
y =~d^--u dx