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https://doi.org/10.11588/diglit.43847#0006
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L. Hefftek :
I\x,x) F(x,x) = (xxyii-\-{xx,y31-\-{xx>)2i
ö' F(x',x) F(x,x} + e [(xx')24 + (#£')244~ (^V);4|
= F (v, v).
Dieser Ausdruck F(v,v) ist eindeutig bestimmt durch X und X' und
nur gleich Null, wenn entweder alle = 0 sind, d. h. wenn X=X'
ist, oder X und X' absolut verbunden sind. Er eignet sich deshalb
zur Definition des „St recken quadrates“ XX'2, dem wir die dua-
listische Definition des „ S i n u s q u a d r a t e s “ zweier Ebenen u und u
zur Seite stellen:
(14 a) XX'2=F(v, v), (14b) sin2 (u, u') — cp (s, s),
wenn v die Verbindungslinie wenn s die Schnittlinie des
des Puiiktepaares X, X' ist. Ebeneupaares u, u' ist.
Wird in diesen Definitionen e = 0 gesetzt, so ist zwar die Determi-
nante in (13) links identisch Null, aber die Ausdrücke F (v,v) und
cp (s, s) sind mit denjenigen der Euklidischen Geometrie für Strecken-
quadrat und Sinusquadrat identisch, wenn dort jede Strecke stets durch
die zugehörige Einheitsstrecke des Koordinatensystems gemessen wird.
Diese ist aber durch die elliptische Eichfläche des Koordinatensystems
(x2 + x2 + x2 — 1=0) bestimmt, und diese wiederum ist hier durch die
A. F., deren Gleichung in der Gestalt (1) festgehalten werden sollte,
eindeutig mitbestimmt.
Die Definitionen (14) sind ferner im Einklang mit den sonst üb-
lichen Definitionen der Nicht-Euklidischen Geometrie. Denn die dort
z. B. „Distanz“x) genannte Größe wird definiert durch die Gleichung
(15) Dist.(X,X') = ilog(XX'J’1 J-2)
_ i 1OP. + VF{x,xy — F(x, x) Fjx',^)
~ 2 °gF(x, x') — VF(x, x')2 — F(x,x) F(xf,x')’
wo die Schnittpunkte der Geraden 'W = XX'mit der A.F. sind.
Eine einfache Rechnung — immer unter Berücksichtigung, daß die Aus-
gangselemente X, X1 in Normalkoordinaten gegeben sind — ergibt
(16) sin2 Dist (X, X') = X(«, x) F (xr, x) — F(x,x')2 = F (v, v),
also unser Streckenquadrat gleich dortigem sin2 Dist. Es
scheint uns besser, wie das Streckenquadrat eines Punktepaares so das
Sinusquadrat eines Ebenenpaares als Primäres voranzustellen und die
Größe des Winkels selbst sekundär mittels einer transzendenten
(logarithmischen oder zyklometrischen) Funktion aus dem Sinus abzu-
leiten, als den umgekehrten Weg zu gehen. Denn: 1. Bei der Her-
’) Vergl. Beck, Koordinatengeometrie I. Berlin 1919. S. 237 ff.
L. Hefftek :
I\x,x) F(x,x) = (xxyii-\-{xx,y31-\-{xx>)2i
ö' F(x',x) F(x,x} + e [(xx')24 + (#£')244~ (^V);4|
= F (v, v).
Dieser Ausdruck F(v,v) ist eindeutig bestimmt durch X und X' und
nur gleich Null, wenn entweder alle = 0 sind, d. h. wenn X=X'
ist, oder X und X' absolut verbunden sind. Er eignet sich deshalb
zur Definition des „St recken quadrates“ XX'2, dem wir die dua-
listische Definition des „ S i n u s q u a d r a t e s “ zweier Ebenen u und u
zur Seite stellen:
(14 a) XX'2=F(v, v), (14b) sin2 (u, u') — cp (s, s),
wenn v die Verbindungslinie wenn s die Schnittlinie des
des Puiiktepaares X, X' ist. Ebeneupaares u, u' ist.
Wird in diesen Definitionen e = 0 gesetzt, so ist zwar die Determi-
nante in (13) links identisch Null, aber die Ausdrücke F (v,v) und
cp (s, s) sind mit denjenigen der Euklidischen Geometrie für Strecken-
quadrat und Sinusquadrat identisch, wenn dort jede Strecke stets durch
die zugehörige Einheitsstrecke des Koordinatensystems gemessen wird.
Diese ist aber durch die elliptische Eichfläche des Koordinatensystems
(x2 + x2 + x2 — 1=0) bestimmt, und diese wiederum ist hier durch die
A. F., deren Gleichung in der Gestalt (1) festgehalten werden sollte,
eindeutig mitbestimmt.
Die Definitionen (14) sind ferner im Einklang mit den sonst üb-
lichen Definitionen der Nicht-Euklidischen Geometrie. Denn die dort
z. B. „Distanz“x) genannte Größe wird definiert durch die Gleichung
(15) Dist.(X,X') = ilog(XX'J’1 J-2)
_ i 1OP. + VF{x,xy — F(x, x) Fjx',^)
~ 2 °gF(x, x') — VF(x, x')2 — F(x,x) F(xf,x')’
wo die Schnittpunkte der Geraden 'W = XX'mit der A.F. sind.
Eine einfache Rechnung — immer unter Berücksichtigung, daß die Aus-
gangselemente X, X1 in Normalkoordinaten gegeben sind — ergibt
(16) sin2 Dist (X, X') = X(«, x) F (xr, x) — F(x,x')2 = F (v, v),
also unser Streckenquadrat gleich dortigem sin2 Dist. Es
scheint uns besser, wie das Streckenquadrat eines Punktepaares so das
Sinusquadrat eines Ebenenpaares als Primäres voranzustellen und die
Größe des Winkels selbst sekundär mittels einer transzendenten
(logarithmischen oder zyklometrischen) Funktion aus dem Sinus abzu-
leiten, als den umgekehrten Weg zu gehen. Denn: 1. Bei der Her-
’) Vergl. Beck, Koordinatengeometrie I. Berlin 1919. S. 237 ff.