Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

Zur absoluten Geometrie.

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kauft von der projektiven Geometrie ist das Doppelverhältnis die Quelle
aller Maßbestimmung, und das Sinusquadrat ist rational durch ein
Doppelverhältnis ausdrückbar. 2. Die trigonometrischen Funktionen
eines Elementepaares spielen in der Geometrie fast die alleinherrschende
Rolle, während die Winkelgröße selbst nur äußerst selten auftritt.
3. Die Dualität zwischen Streckenquadrat und Sinusquadrat tritt bei
dem andern Weg kaum, hier unmittelbar in Erscheinung. 4. Das
Sinusquadrat, nicht aber die Winkelgröße, ordnet sich in das allge-
meine Maßgesetz ein, das im Verlauf dieser Arbeit hervortreten wird. —
Sind X, X', X" drei Punkte mit der Verbindungsebene v und ist
zunächst wieder e 4 0, so ist

(17)

F (x, x) F (x, x'~) F (x, x")
F(x',x) F(x',x') F(x',x")
F (x", x) F(x", x') F (x", x',y)

== (xx' x")2 + (xx' x"y-
+ (xx' x"Y3 + E (xx' x")2
^=f(v, v).

Dieser Ausdruck ist wieder eindeutig durch die drei Punkte bestimmt
und nur gleich Null, wenn entweder alle (xx' x'^ = 0 sind, d. h.
wenn die drei Punkte kollinear (auf einer Geraden) liegen oder wenn
sie absolut verbunden sind. Entsprechend dualistisch. Wir können
daher definieren:

Das Quadrat der Fläche
des Dreiecks X X'X" ist
(18 a) (XX'X'')2=f(v,v),
wo v die Ebene der drei
Punkte X,X',X" ist.

Das Quadrat des Seiten-
sinus der Ecke uu'u" ist
(18b) sin2 (««'«") = F(s, s),
wo s der Schnittpunkt der
drei Ebenen u,u',u" ist.

Auch diese Formeln sind für s = 0 im Einklang mit der Eukli-
dischen Geometrie, wenn man dort jedes Dreieck durch das zugehörige
Einheitsdrei eck (nicht Einheitsquadrat) mißt.
Werden die vier Determinanten in (17) nach der ersten Zeile ent-
wickelt, so folgt:
(19) [z2 (x'.x"}3i + x3 (x'x"\2+xi (x'x")23\2
+ [x, (x' x")3i +x3 (x'x")tlF x, (x' x"\ J2
+ [#, (x'x")2i-\-x2 (x'x"')il-\~xi (x' x")12]2
+ E [aq (x' x"\3 + x2 (x' x")3 x + x3 (x' x") x J2 = f (v, y).
Die hier auftretenden Determinanten zweiten Grades sind die Strahlen-
koordinaten v'ik der Geraden U = A'X", aber noch nicht in Normal-
form. Um diese zu erreichen, müssen sie vielmehr noch durch KF(v',vr>),
der ganze Ausdruck also durch F(v',v') dividiert werden. Das ist
aber nach (14a) das Streckenquadrat X'X"2, da diese Punkte selbst