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https://doi.org/10.11588/diglit.43849#0003
Die verschiedenen Arten der Hauptidealringe.
In der vorliegenden Arbeit verstehen wir gemäß der gebräuch-
lichen Ausdrucksweise unter einem „Ring“ ein System von Elementen,
die durch „Addition“ und „Multiplikation“ nach den bei den ganzen
Zahlen üblichen Rechnungsregeln verknüpft werden können, wobei über
die Umkehrbarkeit der Multiplikation, also über die Division, keiner-
lei Voraussetzungen gemacht werden.
Im folgenden beschäftigen wir uns nur mit solchen Ringen, die
ein Einheitselement der Multiplikation besitzen, und zwar fragen wir
insbesondere nach denjenigen Bereichen, in denen man zu zwei beliebigen
Elementen stets, ähnlich wie bei den ganzen Zahlen, ein drittes Ele-
ment als größten gemeinschaftlichen Teiler finden kann. Vom Stand-
punkt der Idealtheorie aus1) sind diese Ringe dadurch gekennzeichnet,
daß in ihnen jedes Ideal ein Hauptideal ist, das heißt aus der
Gesamtheit aller durch ein festes Element teilbaren Ringelemente
besteht. Wir werden daher in Zukunft von „Hauptidealringen“
sprechen.
Einfache Beispiele für Hauptidealringe sind außer dem Ring der
ganzen Zahlen etwa der Ring der ganzen algebraischen Zahlen eines
endlichen algebraischen Zahlkörpers mit der Klassenzahl 1 oder der
Ring der ganzen p-adischen Zahlen. All den eben genannten Bereichen
ist das eine gemeinsam, daß es in ihnen keine Nullteiler gibt, daß also
ein Produkt nur dann verschwindet, wenn mindestens ein Faktor ver-
schwindet. Hinsichtlich der multiplikativen Zerlegung ihrer Elemente
weisen diese Ringe eine außerordentliche Einfachheit auf. Es läßt
sich nämlich jedes Element im wesentlichen eindeutig als Produkt von
„Primelementen“ darstellen, wobei ein Primelement genau wie die Prim-
zahl im Bereich der natürlichen Zahlen dadurch charakterisiert werden
kann, daß es außer dem Einheitselement keinen von sich selber wesent-
lich verschiedenen echten Teiler besitzt. — Wir wollen unter diesen
’) Vergl. zu den in dieser Arbeit vorkommenden idealtheoretisclien Sätzen
und Begriffen: E. Noether, „Idealtheorie in Ringbereichen“. Math. Annal. 83.
p. 23—G7. Im folgenden wird diese Arbeit mit „N“ zitiert.
In der vorliegenden Arbeit verstehen wir gemäß der gebräuch-
lichen Ausdrucksweise unter einem „Ring“ ein System von Elementen,
die durch „Addition“ und „Multiplikation“ nach den bei den ganzen
Zahlen üblichen Rechnungsregeln verknüpft werden können, wobei über
die Umkehrbarkeit der Multiplikation, also über die Division, keiner-
lei Voraussetzungen gemacht werden.
Im folgenden beschäftigen wir uns nur mit solchen Ringen, die
ein Einheitselement der Multiplikation besitzen, und zwar fragen wir
insbesondere nach denjenigen Bereichen, in denen man zu zwei beliebigen
Elementen stets, ähnlich wie bei den ganzen Zahlen, ein drittes Ele-
ment als größten gemeinschaftlichen Teiler finden kann. Vom Stand-
punkt der Idealtheorie aus1) sind diese Ringe dadurch gekennzeichnet,
daß in ihnen jedes Ideal ein Hauptideal ist, das heißt aus der
Gesamtheit aller durch ein festes Element teilbaren Ringelemente
besteht. Wir werden daher in Zukunft von „Hauptidealringen“
sprechen.
Einfache Beispiele für Hauptidealringe sind außer dem Ring der
ganzen Zahlen etwa der Ring der ganzen algebraischen Zahlen eines
endlichen algebraischen Zahlkörpers mit der Klassenzahl 1 oder der
Ring der ganzen p-adischen Zahlen. All den eben genannten Bereichen
ist das eine gemeinsam, daß es in ihnen keine Nullteiler gibt, daß also
ein Produkt nur dann verschwindet, wenn mindestens ein Faktor ver-
schwindet. Hinsichtlich der multiplikativen Zerlegung ihrer Elemente
weisen diese Ringe eine außerordentliche Einfachheit auf. Es läßt
sich nämlich jedes Element im wesentlichen eindeutig als Produkt von
„Primelementen“ darstellen, wobei ein Primelement genau wie die Prim-
zahl im Bereich der natürlichen Zahlen dadurch charakterisiert werden
kann, daß es außer dem Einheitselement keinen von sich selber wesent-
lich verschiedenen echten Teiler besitzt. — Wir wollen unter diesen
’) Vergl. zu den in dieser Arbeit vorkommenden idealtheoretisclien Sätzen
und Begriffen: E. Noether, „Idealtheorie in Ringbereichen“. Math. Annal. 83.
p. 23—G7. Im folgenden wird diese Arbeit mit „N“ zitiert.