Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

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Wolfgang Krull:

solches aus b bedeutet. Ist a — (a), b = (&), so ist a • b = (a • 6). Ein
Ideal p heißt Primideal, wenn ein Produkt zweier Elemente oder allge-
meiner zweier Ideale nur dann durch p teilbar ist, wenn das gleiche von
mindestens einem Faktor gilt. Ist p = (7;), so nennen wir p Primelement.
Unter dem größten gemeinschaftlichen Teiler (ax, a2---) der endlich
oder unendlich vielen Ideale ax, Q2 • • • versteht man dasjenige Ideal, das
von der Gesamtheit aller endlichen Summen, von der Form 2i a. ge-
bildet wird, wobei at ein beliebiges Element aus a • bedeutet. Die
Ideale ax, a2 ••• Clw heißen teilerfremd, wenn das Ideal (ax, a2 ••• d ) gleich
dem aus allen Ringelementen bestehenden Einheitsideal (r£ ) = o wird,
n
wenn also eine Gleichung 2 a. — r gilt, wobei a. durch a. teilbar ist.
~ t g ~ 7 1 1
Aus der Definition der Teilerfremdheit erkennt man leicht mit Hilfe
von auch in der elementaren Zahlentheoriegebräuchlichen Schlüssen:1)
Ist axzu b teilerfremd und ist ax • Q2 durch b teilbar, so
ist a9 durch b teilbar. Sind die Ideale ai und bfc (i= 1,2
1,2 •••/-<■) stets teilerfremd, so sind auch die Ideale .77 ci und
4-1 1
77 b teil er fremd.
i=l i
Ist a ein beliebiges Ringelement, so nennen wir a einen Null-
teiler, wenn die Gleichung a • x = 0 durch ein von 0 verschiedenes
Element x lösbar ist, andernfalls bezeichnen wir a als regulär. Ist
insbesondere r ein Element, für das eine Gleichung r ■ r~1 = r£ besteht,
und mithin das Ideal (r) gleich dem Einheitsideal wird, so nennen
wir r eine Einheit. Schließen wir den trivialen Fall des aus dem ein-
zigen Elemente 0 bestehenden Ringes ein für allemal aus, so ist rs und
folglich jede Einheit stets regulär. Entsprechend wie bei den Elementen
können wir auch bei den Idealen von regulären und von Nullteiler-
idealen sprechen, indem wir ein Ideal a als regulär oder als Nullteiler-
ideal bezeichnen, je nachdem die Gleichung n • £ = (0) durch ein von
(0) verschiedenes Ideal £ unlösbar oder lösbar ist. Man sieht unmittel-
bar, daß ein Hauptideal a = («) regulär oder Nullteilerideal ist, je
nachdem a ein reguläres Element oder einen Nullteiler darstellt.
§ 2. Die regulären Ideale in Hauptidealringen.
Wir beweisen zunächst den folgenden, für die Zerlegungssätze in
unseren Bereichen grundlegenden
Satz von der endlichen Kette.2) Ist R ein Hauptideal-
1) Vergl. N § 8, Satz XIV, sowie die Bemerkung in Anschluß an Definition VIII.
2) Vergl. N § 1, Satz I. Bei N wird der Satz allgemein für solche Ringe
bewiesen, in denen jedes Ideal eine endliche Basis besitzt.