Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

Die verschiedenen Arten der Hauptidealringe. 5
werden können, wobei diese beiden Operationen folgenden Bedingungen
genügen.
1. Die Elemente von R bilden hinsichtlich der Addition
eine kommutative Gruppe.
2. Die Multiplikation ist eindeutig, assoziativ, kommu-
tativ.
3. Es gilt das distributive Gesetz, d. h. es ist a-(b-\-c) -
a-b-\-a-c für beliebige Ringelemente a, b, c.
4. Es gibt in R ein Einheitselement (der Multiplikation)
rE, das für beliebiges «der Gleichung et- rE = a genügt.
Die Bedingungen 1—3 definieren den allgemeinsten kommutativen
Ring. Aus ihnen ergibt sich die Existenz des Einheitselementes der
Addition, der Null, aber nicht die Existenz des Einheitselementes der
Multiplikation. Letztere mußte daher in Axiom 4 ausdrücklich gefor-
dert werden. Die Eindeutigkeit des dort definierten Einheitselementes
folgt aus der Kommutativität der Multiplikation.
Ein System ci von Ringelementen heißt Ideal, wenn in a
gleichzeitig mit den Elementen a und b stets auch ihre
Summe a b, sowie das Produkt a-c von a mit einem be-
liebigen Ringelemente c enthalten ist. Besteht a insbesondere
n
aus der Gesamtheit aller Elemente von der Form A a a wobei die a-
i=l i ii 1
beliebige, die cc feste Ringelemente bedeuten, so nennen wir ava2--- an
eine Basis von a und schreiben a = (oq, a2 ••• cij. Ein Ideal heißt
Hauptideal, wenn es eine eingliedrige Basis, also die Gestalt a = (a)
besitzt. Ein Ring R, in dem jedes Ideal Hauptideal ist, soll als Haupt-
idealring bezeichnet werden.
Ein Element a heißt durch das Ideal a teilbar, und man schreibt
a = 0 (a), wenn a unter den Elementen von a enthalten ist. Ebenso
nennen wir das Ideal a durch das Ideal b teilbar und schreiben
d 0 (b), wenn jedes Element von a durch b teilbar ist. Ist (a) = 0 ((&)),
besteht also eine Gleichung a — b-c, so nennen wir« durch das Ring-
element b teilbar. Zwei wechselseitig durcheinander teilbare Ring-
elemente heißen äquivalent.
Mit Hilfe des Teilbarkeitsbegriffes können wir das Hauptideal
folgendermaßen definieren: Ein Ideal a heißt Hauptideal, wenn
es aus der Gesamtheit aller Ringelemente besteht, die durch
ein festes Element a, die Basis des Ideals, teilbar sind.
Unter dem Produkt zweier Ideale a und b versteht man dasjenige
Ideal, das durch die Gesamtheit aller endlichen Summen von der Form
Ai cq bi gebildet wird, wobei tq ein beliebiges Element aus a, bi ein