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https://doi.org/10.11588/diglit.43849#0007
Die verschiedenen Arten der Hauptidealringe.
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ring und bezeichnet ap a2 • • • eine unendliche Folge von
Idealen aus R derart, daß fli+i stets ein Teiler von a< ist, so
wird von einem endlichen Index n an stets an = a?l+x —
an+2 .’
In der Tat, bezeichnen wir- mit b = (d) den größten gemeinschaft-
lichen Teiler der Ideale ax, a2- so muß unter unsere Voraussetzungen
das Element d in einem der Ideale ax, ß2 • • •, etwa in an Vorkommen.
Dann aber wird an = an+1 = an+2 = • • • • = b. Wir können dem Satz
von der endlichen Kette auch folgende, negative Fassung geben:
Es ist in einem Hauptidealring unmöglich, eine unend-
liche Kette von Idealen ax, ö2 • • • • zu konstruieren, bei der
allgemein ai+x ein echter (also von a% verschiedener) Teiler
von ai wird.
In dieser negativen Gestalt werden wir unser Theorem in Zukunft
benutzen. Wir wollen jetzt zunächst über die Natur der regulären
Primideale Aufschluß gewinnen und beweisen dazu folgenden
Hilfssatz. Zwei reguläre Elemente a1 und a2 = ax ■ sind
dann und nur daun äquivalent, wenn ri Einheit ist.
In der Tat, sollen ax und a2 äquivalent sein, so muß außer der
Gleichung a2 = rtx • noch umgekehrt eine Gleichung ax = a2 • r2 be-
stehen. Dann aber haben wir ax = ax • rx • r2, also ar • (rE — rx • r2) = 0,
und da ax regulär sein soll, so folgt daraus, r£ —-rx-r2, d. h. ri ist
Einheit. Ist umgekehrt rx • r2 = rE , so ist «x = ax • rx • r2 = a2 • r2,
a1 und a2 sind also dann sicher äquivalent. —- Aus unserm Hilfssatz
folgt leicht:
Ist r = (r) ein reguläres von n verschiedenes Ideal, so
sind sämtliche Potenzen von r verschieden.
Wäre nämlich etwa t? = (o>0), so müßten die Elemente r?
und äquivalent sein, und das ist nach dem Hilfssatz nur mög¬
lich, wenn r® und mithin auch r Einheit, also t = 0 ist. — Als Haupt-
ergebnis erhalten wir ferner aus dem Hilfssatz:
Satz 1. Ein reguläres Ideal aus R läßt sich entweder als
Produkt von echten Teilern darstellen oder es besitzt
außerdem Einheitsideal überhaupt keinen echten Tei-
ler und ist dann (selbstverständlich) Primideal.
Zunächst ist nach der Definition des Primideals klar, daß ein
Ideal p ohne von o verschiedenen echten Teiler Primideal sein muß,
weil ja ein beliebiges Ideal q stets entweder durch p teilbar oder zu
p teilerfremd ist. — Ist andererseits ci = (a) ein reguläres Ideal und
f) = (b) ein von ü verschiedener echter Teiler von a, so haben wir
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ring und bezeichnet ap a2 • • • eine unendliche Folge von
Idealen aus R derart, daß fli+i stets ein Teiler von a< ist, so
wird von einem endlichen Index n an stets an = a?l+x —
an+2 .’
In der Tat, bezeichnen wir- mit b = (d) den größten gemeinschaft-
lichen Teiler der Ideale ax, a2- so muß unter unsere Voraussetzungen
das Element d in einem der Ideale ax, ß2 • • •, etwa in an Vorkommen.
Dann aber wird an = an+1 = an+2 = • • • • = b. Wir können dem Satz
von der endlichen Kette auch folgende, negative Fassung geben:
Es ist in einem Hauptidealring unmöglich, eine unend-
liche Kette von Idealen ax, ö2 • • • • zu konstruieren, bei der
allgemein ai+x ein echter (also von a% verschiedener) Teiler
von ai wird.
In dieser negativen Gestalt werden wir unser Theorem in Zukunft
benutzen. Wir wollen jetzt zunächst über die Natur der regulären
Primideale Aufschluß gewinnen und beweisen dazu folgenden
Hilfssatz. Zwei reguläre Elemente a1 und a2 = ax ■ sind
dann und nur daun äquivalent, wenn ri Einheit ist.
In der Tat, sollen ax und a2 äquivalent sein, so muß außer der
Gleichung a2 = rtx • noch umgekehrt eine Gleichung ax = a2 • r2 be-
stehen. Dann aber haben wir ax = ax • rx • r2, also ar • (rE — rx • r2) = 0,
und da ax regulär sein soll, so folgt daraus, r£ —-rx-r2, d. h. ri ist
Einheit. Ist umgekehrt rx • r2 = rE , so ist «x = ax • rx • r2 = a2 • r2,
a1 und a2 sind also dann sicher äquivalent. —- Aus unserm Hilfssatz
folgt leicht:
Ist r = (r) ein reguläres von n verschiedenes Ideal, so
sind sämtliche Potenzen von r verschieden.
Wäre nämlich etwa t? = (o>0), so müßten die Elemente r?
und äquivalent sein, und das ist nach dem Hilfssatz nur mög¬
lich, wenn r® und mithin auch r Einheit, also t = 0 ist. — Als Haupt-
ergebnis erhalten wir ferner aus dem Hilfssatz:
Satz 1. Ein reguläres Ideal aus R läßt sich entweder als
Produkt von echten Teilern darstellen oder es besitzt
außerdem Einheitsideal überhaupt keinen echten Tei-
ler und ist dann (selbstverständlich) Primideal.
Zunächst ist nach der Definition des Primideals klar, daß ein
Ideal p ohne von o verschiedenen echten Teiler Primideal sein muß,
weil ja ein beliebiges Ideal q stets entweder durch p teilbar oder zu
p teilerfremd ist. — Ist andererseits ci = (a) ein reguläres Ideal und
f) = (b) ein von ü verschiedener echter Teiler von a, so haben wir