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https://doi.org/10.11588/diglit.43849#0015
Die verschiedenen Arten der Hauptidealringe.
15
Um überflüssige Indizes zu vermeiden, wollen wir die Elemente
von genau so bezeichnen wie früher die des Eiliges P, es soll also
re das Einheitselement aus bedeuten usw. — Wir bemerken zunächst,
daß ein Element r aus RV Einheit ist, falls in RW eine Gleichung r-s =
gilt, w°bei q einen Nullteiler bedeutet, dessen gte Potenz ver-
schwindet.
In der Tat aus der Formel (ft+&) • (ft—&)=ft2—S2und aus der Gleichung
q$ = 0 folgt unmittelbar r-^S’(rs—q)-(re-}-q2)-{rs-]-q22')'---(re-\-q2^=±r^.
Es sei nun r ein beliebiges reguläres Element aus RO), x= (r) sei
das daraus abgeleitete Ideal, px = (p) sei das Nullteilerprimideal aus
R^\ Dann ist t-f)x=|)x, wie man unmittelbar erkennt, wenn man r
als Produkt regulärer Primideale darstellt und beachtet, daß in unserm
speziellen Ringe jedes reguläre Primideal f) Teiler von px sein muß,
und folglich nach Satz 4 der Gleichung p-|)x=px genügt. Durch Über-
gang zu den Basiselementcn erhalten wir aus der Idealgleichung r • px= |)x
eine Beziehung s-r-p—p, und weiter 0 = (rg—s-r)-p. Enthält nun
unser Ring einen von 0 verschiedenen Nullteiler, so muß p 4 0 sein, und
es ist daher s-r = rEI~q, wobei q einen Nullteiler bedeutet, der nach
dem, was oben über die speziellen Ringe festgestellt wurde, durch px
teilbar sein und mithin einer Gleichung genügen muß. Daraus
folgt aber, nach einer eben gemachten Bemerkung, daß r Einheit ist,
die Behauptung von Satz 10 ist mithin als richtig nachgewiesen.
Auf Grund von Satz 10 können wir die speziellen Ringe JGÜ
die sich die allgemeinen Hauptidealringe 7? zerlegen lassen, in zwei
Klassen einteilen.
1. Die speziellen Ringe ohne Nullteiler.
Für diese Ringe wurde die Theorie der multiplikativen Zerlegung
ihrer Elemente und Ideale bereits in § 2 geliefert und war im wesent-
lichen mit der entsprechenden Theorie bei den ganzen Zahlen identisch.
Wir wollen diese Bereiche daher als „Ringe vom Typus der ganzen
Zahlen“ bezeichnen.
2. Die speziellen Ringe, in denen es nur Einheiten und
Nullteiler gibt.
Diese Ringe enthalten nur endlich viel Ideale, nämlich außer’o
das Nullteilerprimideal p = (p) und seine Potenzen f)3==(P3)
•••p? = (0). Jedes Ringelement stellt das Produkt einer Einheit mit
einer Potenz des „Primteilers“ p dar. Die Verhältnisse liegen also
im wesentlichen so wie beim Restklassensystem nach einer Primzahl-
potenz. Wir wollen diese Ringe im Anschluß an die Fraenkelsche
Bezeichnungsweise „spezi elle zerlegbare Ringe“ nennen. (Die all-
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Um überflüssige Indizes zu vermeiden, wollen wir die Elemente
von genau so bezeichnen wie früher die des Eiliges P, es soll also
re das Einheitselement aus bedeuten usw. — Wir bemerken zunächst,
daß ein Element r aus RV Einheit ist, falls in RW eine Gleichung r-s =
gilt, w°bei q einen Nullteiler bedeutet, dessen gte Potenz ver-
schwindet.
In der Tat aus der Formel (ft+&) • (ft—&)=ft2—S2und aus der Gleichung
q$ = 0 folgt unmittelbar r-^S’(rs—q)-(re-}-q2)-{rs-]-q22')'---(re-\-q2^=±r^.
Es sei nun r ein beliebiges reguläres Element aus RO), x= (r) sei
das daraus abgeleitete Ideal, px = (p) sei das Nullteilerprimideal aus
R^\ Dann ist t-f)x=|)x, wie man unmittelbar erkennt, wenn man r
als Produkt regulärer Primideale darstellt und beachtet, daß in unserm
speziellen Ringe jedes reguläre Primideal f) Teiler von px sein muß,
und folglich nach Satz 4 der Gleichung p-|)x=px genügt. Durch Über-
gang zu den Basiselementcn erhalten wir aus der Idealgleichung r • px= |)x
eine Beziehung s-r-p—p, und weiter 0 = (rg—s-r)-p. Enthält nun
unser Ring einen von 0 verschiedenen Nullteiler, so muß p 4 0 sein, und
es ist daher s-r = rEI~q, wobei q einen Nullteiler bedeutet, der nach
dem, was oben über die speziellen Ringe festgestellt wurde, durch px
teilbar sein und mithin einer Gleichung genügen muß. Daraus
folgt aber, nach einer eben gemachten Bemerkung, daß r Einheit ist,
die Behauptung von Satz 10 ist mithin als richtig nachgewiesen.
Auf Grund von Satz 10 können wir die speziellen Ringe JGÜ
die sich die allgemeinen Hauptidealringe 7? zerlegen lassen, in zwei
Klassen einteilen.
1. Die speziellen Ringe ohne Nullteiler.
Für diese Ringe wurde die Theorie der multiplikativen Zerlegung
ihrer Elemente und Ideale bereits in § 2 geliefert und war im wesent-
lichen mit der entsprechenden Theorie bei den ganzen Zahlen identisch.
Wir wollen diese Bereiche daher als „Ringe vom Typus der ganzen
Zahlen“ bezeichnen.
2. Die speziellen Ringe, in denen es nur Einheiten und
Nullteiler gibt.
Diese Ringe enthalten nur endlich viel Ideale, nämlich außer’o
das Nullteilerprimideal p = (p) und seine Potenzen f)3==(P3)
•••p? = (0). Jedes Ringelement stellt das Produkt einer Einheit mit
einer Potenz des „Primteilers“ p dar. Die Verhältnisse liegen also
im wesentlichen so wie beim Restklassensystem nach einer Primzahl-
potenz. Wir wollen diese Ringe im Anschluß an die Fraenkelsche
Bezeichnungsweise „spezi elle zerlegbare Ringe“ nennen. (Die all-