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https://doi.org/10.11588/diglit.43851#0009
Zur Differentialgeometrie der isotropen Kurven.
9
Ist 0 als analytische Funktion von p gegeben (natürliche
Gleichung der Kurve), so gehört zu 0 eine Klasse zueinander
kongruenter Kurven, deren Bestimmung von E. Study auf eine Ricca-
tische Gleichung zurückgeführt worden ist.1) Hier sei ein anderes Ver-
fahren mitgeteilt:
Sind f und g zwei linear unabhängige Lösungen der
Differentialgleichung:
(7)
sind ferner a, b, c die normierten Vektoren eines festen
quasinormalen Dreikantes, so liefert die Gleichung
(8) (A» = fg^f—g { f f2 dp • (a/w) + f f9 dp • (b/w) — | f g2 dp • (c/w)}
ein Exemplar der zur natürlichen Gleichung 0 (7?) gehöri-
gen Kurvenklasse. Ersetzt man die Lösungen f, g durch
zwei andere, linear unabhängige, so kommt dies auf eine
Drehung des Dreikants a, b, C um seine Spitze heraus.
8. Zu der natürlichen Gleichung 0 = 0 gehören, wie aus (7), (8)
hervorgeht, Raumkurven 3. Ordnung, die sogenannten LYONSchen
isotropen Schraubenlinien, die später (Nr. 12) behandelt werden.
Die Gleichung = const 0 führt dagegen auf die transzen-
denten isotropen Schraubenlinien (AQ, deren wichtigste Eigen-
schaften aufgezählt seien:
Zu einer Schraubung des Raumes um die Achse e3 eines Drei-
kants normaler (anisotroper) Vektoren et e2 e3 von der Ganghöhe 2 n k
gehört die gemeine oder MEUSNiERSche Schraubenfläche (Minimalfläche)
[AZ|, die durch die Gleichungen
(9) (X/w) = g pos (ej/w) + sin (ejw) J + |/T (e3/w)
dargestellt werden kann. Die Kurven p = const. sind die geradlinigen
Erzeugenden der Fläche und schneiden die Achse e3 unter rechten
Winkeln; sie sind die Hauptnormalen der Kurven q = const., q2-\-k2
J 0, der unebenen gemeinen Schraubenlinien (AZ). Jede dieser Kurven
liegt auf dem Drehzylinder mit der Achse e3 und dem quadrierten
Radius g2; dieser Drehzylinder hat mit (AZ) eine zweite Kurve (AZ)
gemeinsam, die in die erste durch eine Umwendung um die Achs’e e3
übergeht. Irgend zwei der Schraubenlinien (AZ) bilden ein Bertrand-
sches Kurvenpaar. Die zuvor ausgeschlossenen Kurven g2-\-k2 — Q
sind isotrope Schraubenlinien (AZ^) mit der natürlichen Gleichung
0 = —£2, und zwar ist (9) eine Darstellung durch einen ihrer natür-
‘) E. Study [L. 5] S. 254—257.
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Ist 0 als analytische Funktion von p gegeben (natürliche
Gleichung der Kurve), so gehört zu 0 eine Klasse zueinander
kongruenter Kurven, deren Bestimmung von E. Study auf eine Ricca-
tische Gleichung zurückgeführt worden ist.1) Hier sei ein anderes Ver-
fahren mitgeteilt:
Sind f und g zwei linear unabhängige Lösungen der
Differentialgleichung:
(7)
sind ferner a, b, c die normierten Vektoren eines festen
quasinormalen Dreikantes, so liefert die Gleichung
(8) (A» = fg^f—g { f f2 dp • (a/w) + f f9 dp • (b/w) — | f g2 dp • (c/w)}
ein Exemplar der zur natürlichen Gleichung 0 (7?) gehöri-
gen Kurvenklasse. Ersetzt man die Lösungen f, g durch
zwei andere, linear unabhängige, so kommt dies auf eine
Drehung des Dreikants a, b, C um seine Spitze heraus.
8. Zu der natürlichen Gleichung 0 = 0 gehören, wie aus (7), (8)
hervorgeht, Raumkurven 3. Ordnung, die sogenannten LYONSchen
isotropen Schraubenlinien, die später (Nr. 12) behandelt werden.
Die Gleichung = const 0 führt dagegen auf die transzen-
denten isotropen Schraubenlinien (AQ, deren wichtigste Eigen-
schaften aufgezählt seien:
Zu einer Schraubung des Raumes um die Achse e3 eines Drei-
kants normaler (anisotroper) Vektoren et e2 e3 von der Ganghöhe 2 n k
gehört die gemeine oder MEUSNiERSche Schraubenfläche (Minimalfläche)
[AZ|, die durch die Gleichungen
(9) (X/w) = g pos (ej/w) + sin (ejw) J + |/T (e3/w)
dargestellt werden kann. Die Kurven p = const. sind die geradlinigen
Erzeugenden der Fläche und schneiden die Achse e3 unter rechten
Winkeln; sie sind die Hauptnormalen der Kurven q = const., q2-\-k2
J 0, der unebenen gemeinen Schraubenlinien (AZ). Jede dieser Kurven
liegt auf dem Drehzylinder mit der Achse e3 und dem quadrierten
Radius g2; dieser Drehzylinder hat mit (AZ) eine zweite Kurve (AZ)
gemeinsam, die in die erste durch eine Umwendung um die Achs’e e3
übergeht. Irgend zwei der Schraubenlinien (AZ) bilden ein Bertrand-
sches Kurvenpaar. Die zuvor ausgeschlossenen Kurven g2-\-k2 — Q
sind isotrope Schraubenlinien (AZ^) mit der natürlichen Gleichung
0 = —£2, und zwar ist (9) eine Darstellung durch einen ihrer natür-
‘) E. Study [L. 5] S. 254—257.