DOI Page / Citation link:
https://doi.org/10.11588/diglit.43851#0012
12
Julius Wellstein:
Gleichung (P = 0 (Nr. 8). Verlegt man den Koordinatenanfangspunkt
in einen dieser Punkte, führt den natürlichen Parameter p—t V— (m/c)
der durch ihn gehenden Schraubenlinie (Li) sowie deren begleitendes
quasinormales Tetraeder statt a, b, c ein, so geht die Darstellung (2)
in die Normalform über (wobei die neuen Koordinaten wie die ur-
sprünglichen bezeichnet sind):
(5) (X/w) = (P/w) — p (LPw) + %p2 (P/c) (c/w)+{— |^3 c+1^2 b+/) a/w}■
jetzt geht also durch den Anfangspunkt X = 0 eine isotrope Schrauben-
linie mit p als natürlichem Parameter und a, 6, c als begleitendem
Dreikant in 0.
12. Aus der Normalform (5) folgen die Beziehungen:
(6) D (X) = (X/c)2 + 2 (X/b) = D(P) = -q,
(7) L (X) = (X/c) 3.+ 3 (X/c) (X/b) - 3 (X/a) = L (P) e: 31.
Demnach haben die Punkte des Zylinders q = 0 oder , Do] isotrope
Bahnkurven, mit p als natürlichem Parameter, alle anderen Punkte
dagegen anisotrope mit der Torsion T — q, und daher enthält der
Zylinder q — const. kongruente Bahnschraubenlinien; ferner folgt aus
(5) (X'\X') — q (X'/c)2 = 0, d. h. die Tangenten der Schraubenlinien (L)
haben einen parabolischen Drehkegel, die der Schraubenlinien (Li) einen
isotropen Kegel als Richtkegel.
Die Hauptnormale ist im anisotropen wie isotropen Falle die des
Vektors X", und daher stellt die Gleichung
(8) (Z/w) = (X/w) + | (X"lw) bei festem p die Hauptnormale
dar, die zur Ebene (Z/c) = 0 parallel ist, also die (uneigentliche)
Schraubungsachse trifft. Die Hauptnormalen einer Schraubenlinie er-
füllen die Fläche Z(Z) — Z(P), die LiEsche Minimaldoppelfläche
3. O. Die Kurven q = const. liegen auf dem Zylinder D(Z) — D(P} — q,
sind also selbst Schraubenlinien, und jede auf der Hauptnormalenfläche
von (X) gelegene Schraubenlinie (L) schneidet auf deren (orientierten)
Hauptnormalen Strecken fester Länge ab, bildet also mit (X) zusam-
men ein Bertrand sches Kurvenpaar. Jede Schraubenlinie bildet den
teilweisen Durchschnitt einer Fläche [A] mit einem Zylinder 2. O. [P],
dessen Erzeugende zur Richtung c parallel sind. Diese parabolischen
Zylinder berühren die uneigentliche Ebene längs der Schraubungsachse
und hyperoskulieren einander längs dieser Geraden. Sie können als
Grenzlagen von Drehzylindern aufgefaßt werden (Nr. 13) und sind
gegenüber der Schraubung invariant; man könnte sie als eine Schar
koaxialer Schraubenzylinder bezeichnen.
Die Filarevolventen der Schraubenlinien (L) (daß dieser
Julius Wellstein:
Gleichung (P = 0 (Nr. 8). Verlegt man den Koordinatenanfangspunkt
in einen dieser Punkte, führt den natürlichen Parameter p—t V— (m/c)
der durch ihn gehenden Schraubenlinie (Li) sowie deren begleitendes
quasinormales Tetraeder statt a, b, c ein, so geht die Darstellung (2)
in die Normalform über (wobei die neuen Koordinaten wie die ur-
sprünglichen bezeichnet sind):
(5) (X/w) = (P/w) — p (LPw) + %p2 (P/c) (c/w)+{— |^3 c+1^2 b+/) a/w}■
jetzt geht also durch den Anfangspunkt X = 0 eine isotrope Schrauben-
linie mit p als natürlichem Parameter und a, 6, c als begleitendem
Dreikant in 0.
12. Aus der Normalform (5) folgen die Beziehungen:
(6) D (X) = (X/c)2 + 2 (X/b) = D(P) = -q,
(7) L (X) = (X/c) 3.+ 3 (X/c) (X/b) - 3 (X/a) = L (P) e: 31.
Demnach haben die Punkte des Zylinders q = 0 oder , Do] isotrope
Bahnkurven, mit p als natürlichem Parameter, alle anderen Punkte
dagegen anisotrope mit der Torsion T — q, und daher enthält der
Zylinder q — const. kongruente Bahnschraubenlinien; ferner folgt aus
(5) (X'\X') — q (X'/c)2 = 0, d. h. die Tangenten der Schraubenlinien (L)
haben einen parabolischen Drehkegel, die der Schraubenlinien (Li) einen
isotropen Kegel als Richtkegel.
Die Hauptnormale ist im anisotropen wie isotropen Falle die des
Vektors X", und daher stellt die Gleichung
(8) (Z/w) = (X/w) + | (X"lw) bei festem p die Hauptnormale
dar, die zur Ebene (Z/c) = 0 parallel ist, also die (uneigentliche)
Schraubungsachse trifft. Die Hauptnormalen einer Schraubenlinie er-
füllen die Fläche Z(Z) — Z(P), die LiEsche Minimaldoppelfläche
3. O. Die Kurven q = const. liegen auf dem Zylinder D(Z) — D(P} — q,
sind also selbst Schraubenlinien, und jede auf der Hauptnormalenfläche
von (X) gelegene Schraubenlinie (L) schneidet auf deren (orientierten)
Hauptnormalen Strecken fester Länge ab, bildet also mit (X) zusam-
men ein Bertrand sches Kurvenpaar. Jede Schraubenlinie bildet den
teilweisen Durchschnitt einer Fläche [A] mit einem Zylinder 2. O. [P],
dessen Erzeugende zur Richtung c parallel sind. Diese parabolischen
Zylinder berühren die uneigentliche Ebene längs der Schraubungsachse
und hyperoskulieren einander längs dieser Geraden. Sie können als
Grenzlagen von Drehzylindern aufgefaßt werden (Nr. 13) und sind
gegenüber der Schraubung invariant; man könnte sie als eine Schar
koaxialer Schraubenzylinder bezeichnen.
Die Filarevolventen der Schraubenlinien (L) (daß dieser