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https://doi.org/10.11588/diglit.43851#0019
Zur Differentialgeometrie der isotropen Kurven.
19
Fläche1), deren Zentrakurve aus (JL) durch eine Umwendung um
deren Achse hervorgeht, bei den übrigen Kurven eine MoNGESche
~ 2
Fläche1), deren Zentrakurve (Cjw) = (X/w) - ebenfalls auf der
Hauptnormalenfläche [H] von (X) liegt.
20. Der Ort [<S] der Schraubungsachsen — die Schraubenlinien
(Li) sind also hier auszuschließen — wird durch die Gleichung:
(7) (S/w) = (X/w) — | (&/w) + g {| 0a + c/w } dargestellt. Er ist
für 0 = const £ 0 die feste Achse der Schraubenlinie (AL), sonst eine
windschiefe Fläche anisotroper Geraden, und das Striktionsband [S]
von [S] ist die Hauptnormalenfläche [H] selbst.
21. Die rektifizierenden Ebenen umhüllen die rektifizierende
Fläche [R], deren Erzeugende, die rektifizierenden Kanten
durch die Gleichung
(8) (K/w) == (X/w)+g{ | 0a + c/w } gegeben sind, also zu den
Schraubungsachsen parallel laufen. Bei variablem g stellt (8)
die Fläche [L] dar, die bei den Schraubenlinien 0' = O mit dem
Schraubenzylinder dieser Kurven identisch ist. Sonst ist
(9) (X/io) = (X/w) — 0 a-\- cfw} der Ort der Schnittpunkte
konsekutiver Erzeugenden von (LJ. Diese Fläche ist somit im
Falle 0" 0 oder 0 = a(p + /?), a y 0 ein Kegel, sonst dagegen
die Tangentenfläche der unebenen anisotropen Kurve (Z)
der Gratlinie von [R].
Die Fl äche [L] ist somit stets abwickelbar, ihre Normalen
längs (X) sind zugleich die Hauptnormalen von (X) und ihre Erzeu-
genden zu den Schraubungsachsen von (Ar) parallel. Sie teilt diese
Eigenschaften mit den rektifizierenden Flächen anisotroper Kurven,
woraus sich die Bezeichnung „rektifizierend“ rechtfertigt. Die Kurve
(Ä) ist schon als isotrope Kurve auf [R] geodätisch, zugleich aber
sind ihre Hauptnormalen Flächennormalen von [R], eine Eigenschaft,
die isotropen Kurven auf beliebigen Flächen nicht zukommt.
Die beiden Scharen isotroper Kurven der Fläche [R] sind übri-
gens explizit angebbar, es sind die Kurvenscharen g = const., 2jp +’0 g
= const. Bezeichnet (r/w) = {i 0a-f-c|w} den Einheitsvektor der
rektifizierenden Kante, so ist g {| 0a + c/w} = g K—0 (r/w), und es
folgt nebenbei das Resultat:
1) In der Bezeichnungsweise von L. Berwald [L. 2],
19
Fläche1), deren Zentrakurve aus (JL) durch eine Umwendung um
deren Achse hervorgeht, bei den übrigen Kurven eine MoNGESche
~ 2
Fläche1), deren Zentrakurve (Cjw) = (X/w) - ebenfalls auf der
Hauptnormalenfläche [H] von (X) liegt.
20. Der Ort [<S] der Schraubungsachsen — die Schraubenlinien
(Li) sind also hier auszuschließen — wird durch die Gleichung:
(7) (S/w) = (X/w) — | (&/w) + g {| 0a + c/w } dargestellt. Er ist
für 0 = const £ 0 die feste Achse der Schraubenlinie (AL), sonst eine
windschiefe Fläche anisotroper Geraden, und das Striktionsband [S]
von [S] ist die Hauptnormalenfläche [H] selbst.
21. Die rektifizierenden Ebenen umhüllen die rektifizierende
Fläche [R], deren Erzeugende, die rektifizierenden Kanten
durch die Gleichung
(8) (K/w) == (X/w)+g{ | 0a + c/w } gegeben sind, also zu den
Schraubungsachsen parallel laufen. Bei variablem g stellt (8)
die Fläche [L] dar, die bei den Schraubenlinien 0' = O mit dem
Schraubenzylinder dieser Kurven identisch ist. Sonst ist
(9) (X/io) = (X/w) — 0 a-\- cfw} der Ort der Schnittpunkte
konsekutiver Erzeugenden von (LJ. Diese Fläche ist somit im
Falle 0" 0 oder 0 = a(p + /?), a y 0 ein Kegel, sonst dagegen
die Tangentenfläche der unebenen anisotropen Kurve (Z)
der Gratlinie von [R].
Die Fl äche [L] ist somit stets abwickelbar, ihre Normalen
längs (X) sind zugleich die Hauptnormalen von (X) und ihre Erzeu-
genden zu den Schraubungsachsen von (Ar) parallel. Sie teilt diese
Eigenschaften mit den rektifizierenden Flächen anisotroper Kurven,
woraus sich die Bezeichnung „rektifizierend“ rechtfertigt. Die Kurve
(Ä) ist schon als isotrope Kurve auf [R] geodätisch, zugleich aber
sind ihre Hauptnormalen Flächennormalen von [R], eine Eigenschaft,
die isotropen Kurven auf beliebigen Flächen nicht zukommt.
Die beiden Scharen isotroper Kurven der Fläche [R] sind übri-
gens explizit angebbar, es sind die Kurvenscharen g = const., 2jp +’0 g
= const. Bezeichnet (r/w) = {i 0a-f-c|w} den Einheitsvektor der
rektifizierenden Kante, so ist g {| 0a + c/w} = g K—0 (r/w), und es
folgt nebenbei das Resultat:
1) In der Bezeichnungsweise von L. Berwald [L. 2],