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https://doi.org/10.11588/diglit.43851#0021
Zur Differentialgeometrie der isotropen Kurven.
21
23. Die Formel (4) für die Kurven mit gegebenem Hauptnor-
malenbilde erinnert an die von E. Study gegebene Darstellung einer
isotropen Kurve durch Kurven konstanter Torsion.1) Man gelangt
zu dem Studysehen Ergebnis folgendermaßen: Sei bei gegebener Kurve
(X) k(p) eine Lösung der Rigcati sehen Differentialgleichung:
(6) 2 i = &2 + 0 (p) 1, T = const. f 0.
Definiert man dann den Vektor = ^ (^) durch:
(7) (t/w) = (Äft + so folgt nach kurzer Rechnung
Z (i C' + ) = (,alw)> und hieraus:
p
(8) (Ä) — i T(£\w) + (Y/w), wo (E/w) = T [ (CC'w) dp,
worin das Study sehe Resultat enthalten ist.2)
24. Es sei nun die Familie der isotropen Kurven mit
ebenem Bilde der Hauptnormalen zu bestimmen, zu der nach
(2), neben den Schraubenlinien (Zj), die durch die Differentialgleichung
2 0 0" — 3 0'2 q definierten Kurven gehören, also die Kurven mit
den natürlichen Gleichungen
(9) Y = const. 4 0, oder 0 = —k f 0,
wobei eine Integrationskonstante in p einbezogen ist. Die Hauptnor-
malenbilder (ZZ) sind für 0 = const. Großkreise, sonst Kleinkreise,
und zwar wegen der Beziehung (H'H"\I1’H"') =— 03—,|0'2 -
(1 + /c2) (ä;^)2 für &2 -ß 1 = 0 parabolische, sonst reguläre Kreise
Die Kurven mit der Gleichung 0 = sind in Nr. 9 bestimmt, und
es können jene Resultate übernommen werden.
I. (ZZ) ist eine isotrope Gerade der Bildkugel, Y 0.
Die Kurven (X) sind zu der Schraubenlinie (Z,;) kongruent:
(10) (X/w) = p (a]w) +1 p* (fj/w) — | p3 (c|w),
die auf dem Drehkegel
(11) (x/x)-|(W = o
sowie auf dem Schraubenzylinder (X|c)2 + 2 (X/b) — 0 liegt.
9 E. Study [L. 8] spricht den Satz aus, daß man eine isotrope Kurve er-
halte, wenn man auf den Binormalen einer Kurve konstanter Torsion T von
den Kurvenpunkten aus die Strecke 1J — 1 abtrage; den Ort der Endpunkte
gibt dort Formel (11), die mit der obigen (4) eine, allerdings nur formale, Ähn-
lichkeit hat.
2) Das hier eingeschlagene Verfahren erfordert also zur Bestimmung der
Kurven konstanter Torsion aus gegebener isotroper Kurve (X) die Integration
einer Riccati sehen Differentialgleichung mit nachfolgenden drei Quadraturen.
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23. Die Formel (4) für die Kurven mit gegebenem Hauptnor-
malenbilde erinnert an die von E. Study gegebene Darstellung einer
isotropen Kurve durch Kurven konstanter Torsion.1) Man gelangt
zu dem Studysehen Ergebnis folgendermaßen: Sei bei gegebener Kurve
(X) k(p) eine Lösung der Rigcati sehen Differentialgleichung:
(6) 2 i = &2 + 0 (p) 1, T = const. f 0.
Definiert man dann den Vektor = ^ (^) durch:
(7) (t/w) = (Äft + so folgt nach kurzer Rechnung
Z (i C' + ) = (,alw)> und hieraus:
p
(8) (Ä) — i T(£\w) + (Y/w), wo (E/w) = T [ (CC'w) dp,
worin das Study sehe Resultat enthalten ist.2)
24. Es sei nun die Familie der isotropen Kurven mit
ebenem Bilde der Hauptnormalen zu bestimmen, zu der nach
(2), neben den Schraubenlinien (Zj), die durch die Differentialgleichung
2 0 0" — 3 0'2 q definierten Kurven gehören, also die Kurven mit
den natürlichen Gleichungen
(9) Y = const. 4 0, oder 0 = —k f 0,
wobei eine Integrationskonstante in p einbezogen ist. Die Hauptnor-
malenbilder (ZZ) sind für 0 = const. Großkreise, sonst Kleinkreise,
und zwar wegen der Beziehung (H'H"\I1’H"') =— 03—,|0'2 -
(1 + /c2) (ä;^)2 für &2 -ß 1 = 0 parabolische, sonst reguläre Kreise
Die Kurven mit der Gleichung 0 = sind in Nr. 9 bestimmt, und
es können jene Resultate übernommen werden.
I. (ZZ) ist eine isotrope Gerade der Bildkugel, Y 0.
Die Kurven (X) sind zu der Schraubenlinie (Z,;) kongruent:
(10) (X/w) = p (a]w) +1 p* (fj/w) — | p3 (c|w),
die auf dem Drehkegel
(11) (x/x)-|(W = o
sowie auf dem Schraubenzylinder (X|c)2 + 2 (X/b) — 0 liegt.
9 E. Study [L. 8] spricht den Satz aus, daß man eine isotrope Kurve er-
halte, wenn man auf den Binormalen einer Kurve konstanter Torsion T von
den Kurvenpunkten aus die Strecke 1J — 1 abtrage; den Ort der Endpunkte
gibt dort Formel (11), die mit der obigen (4) eine, allerdings nur formale, Ähn-
lichkeit hat.
2) Das hier eingeschlagene Verfahren erfordert also zur Bestimmung der
Kurven konstanter Torsion aus gegebener isotroper Kurve (X) die Integration
einer Riccati sehen Differentialgleichung mit nachfolgenden drei Quadraturen.