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https://doi.org/10.11588/diglit.43851#0025
Zur Differentialgeometrie der isotropen Kurven.
25
punkt Z gehenden Kurven auf einer Fläche 2. Ordnung
(J£—X—%qa\K — Z — %qa')— Q, einem isotropen Kegel mit der
Spitze X + die in der „Mitte“ zwischen X und. Z liegt. Die
Krümmungsmittelpunkte aller Kurven derselben Tangentenrichtung im
Punkte Z liegen auf einer isotropen Geraden dieses Kegels.
Trägt man auf den Hauptnormalen der Flächenkurven
durch Z nicht den Krümmungsradius, sondern dessen reziproken Wert,
die Krümmung ab, so erhält man die zum Kegel inverse Fläche,
die isotrope Ebene ^-^-—Zfa ) = — .
26. Die Untersuchung der in isotropen Ebenen liegenden
Flächenkurven erfordert einige Vorbetrachtungen über Kurven in
isotropen Ebenen überhaupt. Übernimmt man die Begriffe des para-
bolischen Schmiegkreises und der charakteristischen In-
variante derartiger Kurven1)? so ergeben sich folgende Resultate:
Sämtliche durch einen Flächenpunkt Z gehenden, in
isotropen Ebenen gelegenen Flächenkurven haben dort
denselben Wert J= — \ der charakteristischen Invariante.
Die parabolischen Schmiegkreise der in isotropen Ebenen
liegenden Flächenkurven in den Punkten einer Erzeugenden
liegen auf dem isotropen Kegel mit dem zugehörigen Punkte
der Gratlinie als Spitze, demselben Kegel, der auch die Krüm-
mungskreise der anisotropen Kurven enthält. Die Gratlinie (X)
ist die einzige Begleiterkurve der Flächenkurven, die in
isotropen Ebenen liegen.
27. Filarevolventen. Zum Werte g 0 oder q — pQ—p ge-
hören die Flächenkurven
(7) (Xiv) — (Xjw)—(p—Po) Gqiv), jp0 = const., woraus
/8) —(Z'/Z')= — (P—Po)2 folgÜ d.h.
dieseKurven haben zu den Hauptnormalen von (X) paral-
lele Tang ent en und sollen deshalb 1s Filarevolventen von (X)
bezeichnet werden. Sie liegen bei den Schraubenlinien (X,) in iso-
tropen, bei den Schraubenlinien (M,) in anisotropen Ebenen. Bei
den anderen Kurven sind nach (3):
(9) (a/w)= K—1 (i/w); =
P ~Po \ /
(y/w) = 1 f | Cßa + c/
9 A gl. E. Study [L. 4] § 5 sowie H. Beck, Zur Geometrie in cler Minimal-
ebene. Sitzungsberichte der Berl. matli. Gesellsch. Jahrg. 12 (1913) S. 14—30.
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punkt Z gehenden Kurven auf einer Fläche 2. Ordnung
(J£—X—%qa\K — Z — %qa')— Q, einem isotropen Kegel mit der
Spitze X + die in der „Mitte“ zwischen X und. Z liegt. Die
Krümmungsmittelpunkte aller Kurven derselben Tangentenrichtung im
Punkte Z liegen auf einer isotropen Geraden dieses Kegels.
Trägt man auf den Hauptnormalen der Flächenkurven
durch Z nicht den Krümmungsradius, sondern dessen reziproken Wert,
die Krümmung ab, so erhält man die zum Kegel inverse Fläche,
die isotrope Ebene ^-^-—Zfa ) = — .
26. Die Untersuchung der in isotropen Ebenen liegenden
Flächenkurven erfordert einige Vorbetrachtungen über Kurven in
isotropen Ebenen überhaupt. Übernimmt man die Begriffe des para-
bolischen Schmiegkreises und der charakteristischen In-
variante derartiger Kurven1)? so ergeben sich folgende Resultate:
Sämtliche durch einen Flächenpunkt Z gehenden, in
isotropen Ebenen gelegenen Flächenkurven haben dort
denselben Wert J= — \ der charakteristischen Invariante.
Die parabolischen Schmiegkreise der in isotropen Ebenen
liegenden Flächenkurven in den Punkten einer Erzeugenden
liegen auf dem isotropen Kegel mit dem zugehörigen Punkte
der Gratlinie als Spitze, demselben Kegel, der auch die Krüm-
mungskreise der anisotropen Kurven enthält. Die Gratlinie (X)
ist die einzige Begleiterkurve der Flächenkurven, die in
isotropen Ebenen liegen.
27. Filarevolventen. Zum Werte g 0 oder q — pQ—p ge-
hören die Flächenkurven
(7) (Xiv) — (Xjw)—(p—Po) Gqiv), jp0 = const., woraus
/8) —(Z'/Z')= — (P—Po)2 folgÜ d.h.
dieseKurven haben zu den Hauptnormalen von (X) paral-
lele Tang ent en und sollen deshalb 1s Filarevolventen von (X)
bezeichnet werden. Sie liegen bei den Schraubenlinien (X,) in iso-
tropen, bei den Schraubenlinien (M,) in anisotropen Ebenen. Bei
den anderen Kurven sind nach (3):
(9) (a/w)= K—1 (i/w); =
P ~Po \ /
(y/w) = 1 f | Cßa + c/
9 A gl. E. Study [L. 4] § 5 sowie H. Beck, Zur Geometrie in cler Minimal-
ebene. Sitzungsberichte der Berl. matli. Gesellsch. Jahrg. 12 (1913) S. 14—30.