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https://doi.org/10.11588/diglit.43851#0026
26
Julius Wellstein:
0
<I>
die Einheitsvektoren der Tangente, Hauptnormalen und Binormalen,
sowie
(10)
Die Binormale (9) ist, wie im anisotropen Falle, zur rektifi-
zierenden Kante der Gratlinie (X) parallel, und da die
Krümmungsachse von (X) durch den Punkt X geht, so ist die
rektifizierende Kante selbst Krümmungsachse, die rekti-
fizierende Fläche [R] die Polarfläche, die Gratlinie von
[R] — falls sie existiert — die Polarkurve vou (Z). Die Grat-
linie existiert nicht im Falle R' 0 — die rektifizierende Fläche [R]
der Schraubenlinien (Z,:) und (JR) ist ein Zylinder —-, sowie im Falle
R" 0, = a(p ß\ a + 0, wo nach Nr. 21 [R] ein Kegel mit der
Spitze (S/iv) = (Xfyp) — -- * | 7p cjw j ist. Die Filarevolventen einer
Kurve der durch diese Invariante R bestimmten Kurvenklasse haben
den Punkt S zum festen Mittelpunkt der Schmiegkugeln, sind also
selbst Kurven auf Kugeln von endlichem oder verschwindendem Radius.
In der Tat ist nach (7): (Z—S)w)=(p0 + /?) (a/w) + (c/w), also
4 ”
(Z—R/Z—R) = —ß (p0 + ß), womit das eben abgeleitete Resultat
bestätigt ist. Die Hauptnormalen der betrachteten isotropen Kurven
sind aber nach Nr. 21 zugleich Flächennormalen des Kegels, und es
besteht somit eine Analogie mit den nicht isotropen geodätischen
Linien auf Kegeln, deren Filarevolventen nach einem bekannten Satze
ebenfalls sphärische Linien sind.
In den übrigen Fällen (<Z>" + 0) hat die Fläche [R] eine unebene
nicht isotrope Kurve zur Gratlinie, und diese ist gemeinsame Polar-
kurve aller Filarevolventen von (X).
Erklärt man den Krümmungsradius der Filarevolvente (Z) durch
ZI 1\ T? ( \ P ~~Po
(11) R(p)— T/0 }
zwischen R und T:
so ergibt sich aus (10) folgende Beziehung
(12) R(.P)-(.p-Va) + O> -A,)2 = 0
als notwendige Bedingung dafür, daß die Kurve (Z) Filar-
evolvente einer isotropen Kurve sei. Führt man den Bogen
von (Z) als Parameter ein, also
(13) ^> = (P~Po) 1, so = 2 (p—Po)2 — 1, wobei die
Stelle p0 auszuschließen ist, so geht (12) über in die Gleichung:
(14) B(s)-2(S-So){^ + r-.l*Ö)} = 0,
Julius Wellstein:
0
<I>
die Einheitsvektoren der Tangente, Hauptnormalen und Binormalen,
sowie
(10)
Die Binormale (9) ist, wie im anisotropen Falle, zur rektifi-
zierenden Kante der Gratlinie (X) parallel, und da die
Krümmungsachse von (X) durch den Punkt X geht, so ist die
rektifizierende Kante selbst Krümmungsachse, die rekti-
fizierende Fläche [R] die Polarfläche, die Gratlinie von
[R] — falls sie existiert — die Polarkurve vou (Z). Die Grat-
linie existiert nicht im Falle R' 0 — die rektifizierende Fläche [R]
der Schraubenlinien (Z,:) und (JR) ist ein Zylinder —-, sowie im Falle
R" 0, = a(p ß\ a + 0, wo nach Nr. 21 [R] ein Kegel mit der
Spitze (S/iv) = (Xfyp) — -- * | 7p cjw j ist. Die Filarevolventen einer
Kurve der durch diese Invariante R bestimmten Kurvenklasse haben
den Punkt S zum festen Mittelpunkt der Schmiegkugeln, sind also
selbst Kurven auf Kugeln von endlichem oder verschwindendem Radius.
In der Tat ist nach (7): (Z—S)w)=(p0 + /?) (a/w) + (c/w), also
4 ”
(Z—R/Z—R) = —ß (p0 + ß), womit das eben abgeleitete Resultat
bestätigt ist. Die Hauptnormalen der betrachteten isotropen Kurven
sind aber nach Nr. 21 zugleich Flächennormalen des Kegels, und es
besteht somit eine Analogie mit den nicht isotropen geodätischen
Linien auf Kegeln, deren Filarevolventen nach einem bekannten Satze
ebenfalls sphärische Linien sind.
In den übrigen Fällen (<Z>" + 0) hat die Fläche [R] eine unebene
nicht isotrope Kurve zur Gratlinie, und diese ist gemeinsame Polar-
kurve aller Filarevolventen von (X).
Erklärt man den Krümmungsradius der Filarevolvente (Z) durch
ZI 1\ T? ( \ P ~~Po
(11) R(p)— T/0 }
zwischen R und T:
so ergibt sich aus (10) folgende Beziehung
(12) R(.P)-(.p-Va) + O> -A,)2 = 0
als notwendige Bedingung dafür, daß die Kurve (Z) Filar-
evolvente einer isotropen Kurve sei. Führt man den Bogen
von (Z) als Parameter ein, also
(13) ^> = (P~Po) 1, so = 2 (p—Po)2 — 1, wobei die
Stelle p0 auszuschließen ist, so geht (12) über in die Gleichung:
(14) B(s)-2(S-So){^ + r-.l*Ö)} = 0,