DOI Seite / Zitierlink:
https://doi.org/10.11588/diglit.43386#0005
Zu den NEWTONschen Formeln f. d. Potenzsummen der Wurzeln usw. 5
der Koeffizienten sein kann, ohne die übrigen oben erwähnten Mängel
des Beweises aufzuzeigen oder zu beseitigen.
2. Im Anschluß hieran sei auf eine begriffliche Vereinfachung
aufmerksam gemacht, deren der übliche Beweis für (2a) (vgl. auch
den ersten Beweis Eulers a. a. O.) fähig ist, auf die aber, soweit dem
Verfasser bekannt, noch nicht hingewiesen ist. Bezeichnet man das
Polynom
(6) na;w_1(n — 1) 2+ ...•+(n—^) 1-\-2an_2x
+ a.n-i rait f' (^),
so beweist man gewöhnlich die Identität
entweder mit Hülfe der Differentialrechnung, oder — unter Umgehung
des Differentialbegriffes — durch elementare Einführung der „Ablei-
tung“ der ganzen rationalen Funktion f;i(a;). Sodann wird (2 a) ge-
wonnen, indem man die Koeffizienten von auf beiden Seiten
von (7) einander gleichsetzt, nachdem man die rechte Seite in Reihen
entwickelt, oder — noch besser -— dort die Division ausgeführt hat.
Bei letzterem Verfahren wird nämlich erhalten
fo\ n—1 , 7 (i) n—2 , , X-l . , >(i) . 7 (i)
(8) = x +G x + ---+VX +... + /w
(9) wobei = + + +
n
(10) (n— C’ (x = 1,2,..., n—1)
i
woraus (2 a) unmittelbar folgt.1) Diese Gleichung (10) aber kann
f fr)
allein durch Betrachtung von - , ohne Verwendung der Ableitung
erhalten werden. Die Division von f (x) durch a;—au liefert
nämlich, wie erwähnt, die Gleichungen (8) und (9). Ferner sind die
Koeffizienten (x = 1, 2,..., n — 1) der nur scheinbar gebrochenen
Funktion —— die elementaren symmetrischen Grundfunktionen von
x — xi J
n f (rc)
xvx.2,..,x. „ x. x , und die bei —-— auftretenden Größen
’) Vgl. etwa Weber-Wellstein, Enzyklopädie der Elementar-Matliematik I,
4. Auflage, 1922, S. 382.
der Koeffizienten sein kann, ohne die übrigen oben erwähnten Mängel
des Beweises aufzuzeigen oder zu beseitigen.
2. Im Anschluß hieran sei auf eine begriffliche Vereinfachung
aufmerksam gemacht, deren der übliche Beweis für (2a) (vgl. auch
den ersten Beweis Eulers a. a. O.) fähig ist, auf die aber, soweit dem
Verfasser bekannt, noch nicht hingewiesen ist. Bezeichnet man das
Polynom
(6) na;w_1(n — 1) 2+ ...•+(n—^) 1-\-2an_2x
+ a.n-i rait f' (^),
so beweist man gewöhnlich die Identität
entweder mit Hülfe der Differentialrechnung, oder — unter Umgehung
des Differentialbegriffes — durch elementare Einführung der „Ablei-
tung“ der ganzen rationalen Funktion f;i(a;). Sodann wird (2 a) ge-
wonnen, indem man die Koeffizienten von auf beiden Seiten
von (7) einander gleichsetzt, nachdem man die rechte Seite in Reihen
entwickelt, oder — noch besser -— dort die Division ausgeführt hat.
Bei letzterem Verfahren wird nämlich erhalten
fo\ n—1 , 7 (i) n—2 , , X-l . , >(i) . 7 (i)
(8) = x +G x + ---+VX +... + /w
(9) wobei = + + +
n
(10) (n— C’ (x = 1,2,..., n—1)
i
woraus (2 a) unmittelbar folgt.1) Diese Gleichung (10) aber kann
f fr)
allein durch Betrachtung von - , ohne Verwendung der Ableitung
erhalten werden. Die Division von f (x) durch a;—au liefert
nämlich, wie erwähnt, die Gleichungen (8) und (9). Ferner sind die
Koeffizienten (x = 1, 2,..., n — 1) der nur scheinbar gebrochenen
Funktion —— die elementaren symmetrischen Grundfunktionen von
x — xi J
n f (rc)
xvx.2,..,x. „ x. x , und die bei —-— auftretenden Größen
’) Vgl. etwa Weber-Wellstein, Enzyklopädie der Elementar-Matliematik I,
4. Auflage, 1922, S. 382.