Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

Neue elementare Begründung u. Erweiterung d. Galoissclien Theorie. 5

Gracies A2 mit Koeffizienten aus dem durch Adjunktion
von zu P erweiterten Körper (F; th)1), in dem die Glei-
chung X2 (x; ßj) = 0 als irreduzibel vorausgesetzt wird.
Die Größe q3 sei eine Wurzel der Gleichung A3 (%; ov p2) ~ 0
vom Grade Z?3, deren Koeffizienten, dem durch Adjunk-
tion von und o2 erweiterten Körper (F; 4?i, £>2) angehören
und die in diesem Körper irreduzibel ist. So fort-
fahrend sei schließlich gk eine Wurzel der Gleichung
Xk (x; Qi’ • • •> Qk-1) = 0 vom Grade hk, deren Koeffizienten
dem durch Adjunktion von o15 p2, . . ., Qk-i zu P erweiterten
Körper (F; o2, ..., 2*-i) angehören und die in diesem
Körper irreduzibel ist.
Die Gesamtheit aller rationalen Funktionen von q.2, . . Qk mit
Koeffizienten aus dem Grundkörper F bildet, wie man sagt, den
Körper (F; p1; p2, . . Das Produkt s = Jit. Ji2 ... hk der Grad-
zahlen der Kette irreduzibler Gleichungen heißt der Grad des
Körpers (F; qv p2, ..p7J. Die Größen Qi, Q%, • • Qk’ c^e zur Er-
zeugung des Körpers (F; @2, . . ., durchaus nicht alle notwendig
zu sein brauchen — gewisse von ihnen können Gleichungen ersten Grades
genügen, also rationale Funktionen der voraufgehenden sein — sollen
die Dirigenten des Körpers (F; p2, ..., pÄ.) heißen.
Wir beweisen den
Satz 1. Es sei X (@1, q2, ..Qk~) = 0 irgend eine Gleichung,
die Qi, Q2’■ • Qk in ganzen positiven Potenzen enthält2) und

’) Wenn die Gleichungskoeffizienten einem erweiterten Körper angehören,
soll dies auch durch die Schreibweise der Gleichung zum Ausdruck gebracht
werden.

2) Jede rationale Punktion von gx, g2> ■ • •> Qk a^s Sanz rational vorauszusetzen,
ist bekanntlich keine Beschränkung. Bedeutet nämlich eine rationale Funk-
MG)
tion einer Wurzel q der irreduziblen Gleichung I(x) = 0, so folgt, da h (@) zf 0
sein muß und IG) = 0 irreduzibel ist, die Teilerfremdheit von h G) und l(x).
Hieraus ergibt sich weiter nach dem Euklidischen Algorithmus die Existenz
zweier ganzer Funktionen P G) und Q(x), daß P G) h G) + Q G) I(x) = 1, also
P (ß) G) + ö G) -Ge) — 1 oder, da I(g) = Oist, P(ß)h((p = 1. Mithin ist
= g G) -f*G) eine ganze rationale Funktion von q. Demnach läßt sich
/i (Q)
jede rationale Funktion von q2, . . ., gk mittels der Gleichungskette

G) = 0 successiv in eine ganze rationale Funktion zuerst von gk, hierauf
von Qk-i, Qj.-z< ■ • Qi verwandeln. Im folgenden sollen ausnahmslos alle Funk-
tionen von Qlt o2, ..., gk stets von Anfang an als in ganze rationale Funktionen
umgewandelt angenommen werden.