Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

Neue elementare Begründung u. Erweiterung d. Galoisschen Theorie. 43
mit (/z) (1 = 2, 3, . . ta) bezeichnen.1) Bildet man die ta — 1 Diffe-
renzen (/z) — xPl (jli) (1 = 2, 3, . .., ta) und legt der Unbestimmten /z
einen rationalen Wert r bei, der nur der einzigen Bedingung genügen
muß, keine Nullstelle der ta — 1 ganzen Funktionen (/z) — ’Pj (/z)
(1 = 2, 3, . . ., ta) zu sein, also (r) — xPl (r) 4 0, so ist
= £ + C1 + C2 £?2 + . • • + Cfc Qk) eine zu der Untergruppe <5a
zugehörige rationale Funktion oa (qv q2, ..., p7i.) der Dirigenten qv q2, ..gk
des Körpers (P; q2, ..., q]c). Tatsächlich ändert sich (r), wie seine
Form zeigt, bei allen Transmutationen von nicht; hingegen nimmt
(r) bei sämtlichen <&a nicht angehörigen Transmutationen von S,
die sich in der Gestalt P7 (1 = 2, 3, . .., ta) schreiben lassen, wegen
der Relation (r) — (r) 4 0 (l = 2, 3, .. ., ta) die von XI\ (r) ver-
schiedenen Werte P, (r) (l = 2, 3, . . ., ta) an.
Die irreduzible Gleichung mit Koeffizienten aus P, der die Größe
Px (r) = lI\(r', qv q2, . .., Qk) genügt, zeigt noch, daß der letzte Aus-
druck nicht nur von xPl (r) (l = 2, 3, . . ., ta) verschieden ist, sondern
daß auch niemals zwei der Größen Pz (r) (l = 2, 3, . . ., G) unter-
einander gleich sein können.
Da auf Grund des bewiesenen Satzes zu jeder automorphen Unter-
gruppe von ® zugehörige rationale Funktionen oa (qt, q2, . . .,
existieren, ergibt sich aus dem erweiterten LAGRANRESchen Theorem
(§ 3, Theorem 3) der Satz von der Existenz des zu jeder auto-
morphen Untergruppe von S zugehörigen Unterkörpers
(P; oa) des Körpers (P; q,, q2, .. ., ok), nämlich:
Satz 4. M an kann das Transmutationssystem® der Diri-
genten p2’ • • ■■> Qi» des Körpers (P; p15 q2, . .., auf jede in
enthaltene automorphe Untergruppe &a reduzieren, indem
man statt des Körpers P den durch Erweiterung mit Hilfe
von oa entstehenden Körper (P; aa) als Grundkörper wählt;
dabei bedeutet oa eine beliebige zu <&a zugehörige rationale
Funktion von q2, ..., ok mit Koeffizienten aus P, d. h. eine
solche Funktion, die bei &a ungeändert bleibt, hingegen
bei allen &a nicht angehörigen Transmutationen von ihren
Wert verändert.
Jede rationale Funktion von g1? q%, - • Qk mit Koeffi-
zienten aus P, die bei allen Transmutationen von &a ihren
Wert beibehält, ist eine rationale Funktion von oa.
B Infolge der Bedingung, daß Ci Qi + Cz + . .. -f- Ck Qk eine primitive
Funktion sein soll, besitzen die ta Gleichungen IPz G) = 0 keine gemeinsamen
Wurzeln; hierdurch ist gesichert, daß von den ta — 1 Funktionen G«) — 'U (/«)
(G — 2, 3, . .., ta) der Variablen keine identisch verschwindet.