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https://doi.org/10.11588/diglit.43406#0013
Der reelle Übergang zwischen den beiden nichteuklidischen Geometrien usw. 13
Die erste Transformation wird identisch. Welche geometrische
Bedeutung hat sie? Die eine Kugel r = 0 schrumpft zum Punkt zu-
sammen. Trotzdem behält Gleichung 4 einen Sinn, wenn man sie von
vornherein auffaßt als Gleichung zwischen den durch das Kugeldreieck
bestimmten Strahlen, sie ist dann von der Größe des Radius unabhängig.
Die zweite Kugel erhält aber den Radius d. h. es ist die sphärische
Ebene. Die Ecke schneidet aus ihr ein Dreieck aus, dessen Maßverhält-
nisse, entsprechend gemessen mit denen der Ecke, üb er einstimmen.
7t
Die Gleichung 10 erhält man auch, wenn man r = rx = — setzt,
dann werden die beiden Kugeln gleich. 11 aber wird:
c 1
cos ,7= --
K 2 C1
cos y 2
(13)
dann ist sin c = i tg cx,
—-- tg a, tg b, cos v,
cos bi 1 1
Die beiden Gleichungen 4 und 5 lauten für r = 0; rx —
(-1
cos c = cos a cos b -f- sin a sin b cos v und
cos cx = cos a, cos bx + sin a, sin b, cos rx.
In der Tat geht die erste in die zweite über, wenn man setzt:
1
cos c =-.
COS C1 '
1 1
cos cx cos ai
cos cx = cosa cos bi + sinai sinbi cos v±, wobei:
(12) cos rx — cos v • cos c.
Die Seiten dieses Dreiecks sind imaginär. Bezeichnen wir sie im
hyperbolischen Raum mit y und y'i, so ist
cos c = cos y',
cosc = -^ also auch hier:
cos y i
cos y' • cos y'i = 1.
Die erste Transformation wird identisch. Welche geometrische
Bedeutung hat sie? Die eine Kugel r = 0 schrumpft zum Punkt zu-
sammen. Trotzdem behält Gleichung 4 einen Sinn, wenn man sie von
vornherein auffaßt als Gleichung zwischen den durch das Kugeldreieck
bestimmten Strahlen, sie ist dann von der Größe des Radius unabhängig.
Die zweite Kugel erhält aber den Radius d. h. es ist die sphärische
Ebene. Die Ecke schneidet aus ihr ein Dreieck aus, dessen Maßverhält-
nisse, entsprechend gemessen mit denen der Ecke, üb er einstimmen.
7t
Die Gleichung 10 erhält man auch, wenn man r = rx = — setzt,
dann werden die beiden Kugeln gleich. 11 aber wird:
c 1
cos ,7= --
K 2 C1
cos y 2
(13)
dann ist sin c = i tg cx,
—-- tg a, tg b, cos v,
cos bi 1 1
Die beiden Gleichungen 4 und 5 lauten für r = 0; rx —
(-1
cos c = cos a cos b -f- sin a sin b cos v und
cos cx = cos a, cos bx + sin a, sin b, cos rx.
In der Tat geht die erste in die zweite über, wenn man setzt:
1
cos c =-.
COS C1 '
1 1
cos cx cos ai
cos cx = cosa cos bi + sinai sinbi cos v±, wobei:
(12) cos rx — cos v • cos c.
Die Seiten dieses Dreiecks sind imaginär. Bezeichnen wir sie im
hyperbolischen Raum mit y und y'i, so ist
cos c = cos y',
cosc = -^ also auch hier:
cos y i
cos y' • cos y'i = 1.