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https://doi.org/10.11588/diglit.43529#0012
12 Heinrich Liebmann:
wobei gesetzt ist:
X = a123«ww + ai2uv + a23vw -fi «31w u 4- axu 4- a2v + a3w + a0,
F = &123ww 4- &12wv + &23w + J31w + Zfiw + &2v 4- &3w &0,
X= c123uvw 4- c12uv 4- c23w 4- c31wu 4- G.w 4- c2v + c3w 4- c0,
X == d323uvw 4- d12uv 4* d23vw 4- d31wu 4- d2u 4- d2v -4 d3w 4- d0. ■
Wie baut sich dieses System auf? Das wird durch folgende
Konstruktion geleistet: Man geht von zwei beliebigen Flächen zweiten
Grades mit reellen Geraden aus und ordnet die Geraden einander
linear zu. Das kann in der Weise geschehen, daß man die Parameter-
werte entsprechender Geraden (w, -c) geradezu einander gleich setzt.
Hiermit ist auch jedem Punkt Px der ersten Fläche ein Punkt P2 der
zweiten Fläche eindeutig zugeordnet.
Sodann verbindet man alle entsprechenden Punktepaare durch
gerade Linien, wobei jede Gerade v = v0 der entsprechenden Geraden
v = v0 projektiv zugeordnet wird. Die Verbindungsgeraden entsprechen-
der Punkte (Px, P2) geben die Fläche v = vQ. Genau so findet man
alle Flächen u = u0. Die beiden zum Aufbau des Netzes verwendeten
Flächen gehören der w-Schar an, und die weiteren Flächen der Schar
werden so gefunden: Man wählt auf einer Geraden PXP2 irgendeinen
Punkt P, durch ihn gehn zwei Flächen u — cv v = c2 der beiden bereits
gefundenen Scharen, und sowohl die Fläche w = cx wie die Fläche
v = c2 senden durch P noch je eine Gerade; diese beiden Geraden
gehören der durch P gehenden Fläche w = c3 an.
Man darf sich durch diesen einfachen Aufbau nicht zu der An-
nahme verleiten lassen, daß durch jeden Raumpunkt nur eine Gerade
jeder der drei Scharen geht. Das gilt ja schon bei folgendem sehr
einfachen System nicht mehr:
«12zw 4~ aiu + a2V + ao
d12uv 4- d^u 4~ d^y 4— d3
b12uv 4- b±u 4- b2v 4- &o
d12uv 4- d3u 4- d2v -fi d0’
C.M 4- C,u 4“ C2V 4- Co ,
# = -4—-p- —r + w-
d12uv 4- dru -fi d2v + d0
Hier sind die Verbindungslinien zugeordneter Punkte der Flächen
w = c3 zueinander parallel, die Flächen u = v — c2 sind Ebenen, und
durch P können je zwei Geraden jeder der beiden Scharen («= cx,
w = c3) und (y = c2, w = c3j gehn. —
Es ist ganz belehrend, zu sehn, wie die Sekanten der Schmiegungs-
ebenen der Raumkurven dritter Ordnung sich einfügen. Wir haben
wobei gesetzt ist:
X = a123«ww + ai2uv + a23vw -fi «31w u 4- axu 4- a2v + a3w + a0,
F = &123ww 4- &12wv + &23w + J31w + Zfiw + &2v 4- &3w &0,
X= c123uvw 4- c12uv 4- c23w 4- c31wu 4- G.w 4- c2v + c3w 4- c0,
X == d323uvw 4- d12uv 4* d23vw 4- d31wu 4- d2u 4- d2v -4 d3w 4- d0. ■
Wie baut sich dieses System auf? Das wird durch folgende
Konstruktion geleistet: Man geht von zwei beliebigen Flächen zweiten
Grades mit reellen Geraden aus und ordnet die Geraden einander
linear zu. Das kann in der Weise geschehen, daß man die Parameter-
werte entsprechender Geraden (w, -c) geradezu einander gleich setzt.
Hiermit ist auch jedem Punkt Px der ersten Fläche ein Punkt P2 der
zweiten Fläche eindeutig zugeordnet.
Sodann verbindet man alle entsprechenden Punktepaare durch
gerade Linien, wobei jede Gerade v = v0 der entsprechenden Geraden
v = v0 projektiv zugeordnet wird. Die Verbindungsgeraden entsprechen-
der Punkte (Px, P2) geben die Fläche v = vQ. Genau so findet man
alle Flächen u = u0. Die beiden zum Aufbau des Netzes verwendeten
Flächen gehören der w-Schar an, und die weiteren Flächen der Schar
werden so gefunden: Man wählt auf einer Geraden PXP2 irgendeinen
Punkt P, durch ihn gehn zwei Flächen u — cv v = c2 der beiden bereits
gefundenen Scharen, und sowohl die Fläche w = cx wie die Fläche
v = c2 senden durch P noch je eine Gerade; diese beiden Geraden
gehören der durch P gehenden Fläche w = c3 an.
Man darf sich durch diesen einfachen Aufbau nicht zu der An-
nahme verleiten lassen, daß durch jeden Raumpunkt nur eine Gerade
jeder der drei Scharen geht. Das gilt ja schon bei folgendem sehr
einfachen System nicht mehr:
«12zw 4~ aiu + a2V + ao
d12uv 4- d^u 4~ d^y 4— d3
b12uv 4- b±u 4- b2v 4- &o
d12uv 4- d3u 4- d2v -fi d0’
C.M 4- C,u 4“ C2V 4- Co ,
# = -4—-p- —r + w-
d12uv 4- dru -fi d2v + d0
Hier sind die Verbindungslinien zugeordneter Punkte der Flächen
w = c3 zueinander parallel, die Flächen u = v — c2 sind Ebenen, und
durch P können je zwei Geraden jeder der beiden Scharen («= cx,
w = c3) und (y = c2, w = c3j gehn. —
Es ist ganz belehrend, zu sehn, wie die Sekanten der Schmiegungs-
ebenen der Raumkurven dritter Ordnung sich einfügen. Wir haben