Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

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Otto Volk:

§ 5. Die geodätischen Dreiecksnetze
auf den Flächen konstanten Krümmungsmaßes.
1. Geodätische Dreiecksnetze in der Ebene.
Ist allgemein
A(u) = mp(u) + n, B(u} = amj)'(u),
A(v) = mp(v) + n, B(v) = amp'(v),
A(uA-v) = B(u-^v),= — amp'(u-\-v),
so sind die Umhüllungskurven der drei Geradenscharen u — const.,
y= const., = const. durch die beiden Gleichungen bestimmt:
mxp(a) + amyp'(o) + (1 -‘-nx) = 0,
^p'(o)+ayp"(o) =0,
wo das Zeichen zu nehmen ist für o = u, v und das — Zeichen für
c> = u + v. Daraus folgt, daß alle Geraden der drei Scharen, die das
Dreiecksnetz bilden, ein- und dieselbe Kurve dritter Klasse berühren.
Haben wir den Sonderfall
G(v) = 0, B'(v}= a y-B(-w)2,
so bilden die Geraden v = const. ein Büschel von Parallelen, während
die beiden anderen Scharen ein und denselben Kegelschnitt umhüllen:
(36) «na;2 + 2 ai2xy 4- a^y2 + 2 a,3a; + 2 a23y + a33 = 0,
wie die aus den Gleichungen (25), (26), (33), (34) zu bestimmenden
Werte der Funktionen A(u), B(u), A(u + v), B(u + v) sofort zeigen.
Wird
B(v)-lcA(v)=0
so bilden die Geraden v = const.’ ein Büschel mit Schnittpunkt im
Endlichen; die Kurven u = const. und u-}-v = const. sind wieder Tan-
genten eines Kegelschnittes.
In dem Sond erfaße
z b2 / k b
A(u) = ^--u + c2 ) , B(u) = g~w + c2 )
H(v) = (vr M + %) ’ =ak(^-v +
umhüllen die Geraden u — const. und v = const. die Parabel
= 4 a;,
während die dritte Geradenschar
f + c2 d” P a Z;^/ = 0

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