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https://doi.org/10.11588/diglit.43531#0032
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E. Trefftz :
Die Konstante ct0 in Gleichung (9) für den stationären Zustand
erhalten wir aus der Randbedingung (3'). Es ist
(13) — = aoy> Sin y^,
also für £ = 1,
d Z
(14) = h (1 — /<;*), «oV7 ®tn y = A (1 — a0 Gof v0>
somit
a° Sin yj^-h, (£of y>
und
Hß) /■* — _
' ' y> Sin ip-\-h (s.of y>
Damit ist der stationäre Zustand bestimmt. Wollen wir jetzt aus-
drücken, daß sich der wirkliche aus der Anfangsbedingung 7v = 0 für
t — 0 hervorgehende Zustand diesem stationären Endzustand nähert,
und zwar, wie wir aus der Wärmeleitung wissen, sehr schnell, so setzen
wir die Differenz k — k* als eine Reihe an, in der jedes einzelne Glied
mit der Zeit exponentiell gegen Null geht.
(17) k — k* = '^iave ' cos xv£.
i
Die av sind dabei später zu bestimmende Konstante, ebenso kv und hv.
Daß die Abhängigkeit von £ gerade durch Cosinusfunktionen aus-
gedrückt wird, entnehmen wir bekannten Entwicklungen, könnten es
aber auch aus dem allgemeineren Ansatz lave Vgv(£) systematisch
ableiten. Setzt man den Ansatz (17) in die Differentialgleichung (1')
ein, so sieht man, daß die Differentialgleichung erfüllt ist, wofern nur
zwischen den Konstanten kv und xp die Beziehung
(18) 4 = +
besteht. Da y> gegeben ist, brauchen wir nur noch die xr zu bestimmen,
und das geschieht durch Einsetzen von (17) in die Randbedingung (3Z)-
Man erhält, wenn diese erfüllt sein soll, für die nv die Gleichungen
(19) %v sin x„ = h cos oder x„tgx1, = 7z.
Diese Gleichung kann man zeichnerisch lösen, indem man in einem
Diagramm als Abszisse z, als Ordinaten einmal r;1 = tgx, dann t?2 = 7z/x
aufträgt. An den Punkten, wo die beiden Kurven sich schneiden,
ist J/i = a^so tgx = A/x, die Abszissen der Schnittpunkte sind also
die Wurzeln unserer Gleichung (19). Siehe die beigegebene Fig. 3.
Diese zeigt, daß die erste Wurzel xx zwischen Null und liegt, die
E. Trefftz :
Die Konstante ct0 in Gleichung (9) für den stationären Zustand
erhalten wir aus der Randbedingung (3'). Es ist
(13) — = aoy> Sin y^,
also für £ = 1,
d Z
(14) = h (1 — /<;*), «oV7 ®tn y = A (1 — a0 Gof v0>
somit
a° Sin yj^-h, (£of y>
und
Hß) /■* — _
' ' y> Sin ip-\-h (s.of y>
Damit ist der stationäre Zustand bestimmt. Wollen wir jetzt aus-
drücken, daß sich der wirkliche aus der Anfangsbedingung 7v = 0 für
t — 0 hervorgehende Zustand diesem stationären Endzustand nähert,
und zwar, wie wir aus der Wärmeleitung wissen, sehr schnell, so setzen
wir die Differenz k — k* als eine Reihe an, in der jedes einzelne Glied
mit der Zeit exponentiell gegen Null geht.
(17) k — k* = '^iave ' cos xv£.
i
Die av sind dabei später zu bestimmende Konstante, ebenso kv und hv.
Daß die Abhängigkeit von £ gerade durch Cosinusfunktionen aus-
gedrückt wird, entnehmen wir bekannten Entwicklungen, könnten es
aber auch aus dem allgemeineren Ansatz lave Vgv(£) systematisch
ableiten. Setzt man den Ansatz (17) in die Differentialgleichung (1')
ein, so sieht man, daß die Differentialgleichung erfüllt ist, wofern nur
zwischen den Konstanten kv und xp die Beziehung
(18) 4 = +
besteht. Da y> gegeben ist, brauchen wir nur noch die xr zu bestimmen,
und das geschieht durch Einsetzen von (17) in die Randbedingung (3Z)-
Man erhält, wenn diese erfüllt sein soll, für die nv die Gleichungen
(19) %v sin x„ = h cos oder x„tgx1, = 7z.
Diese Gleichung kann man zeichnerisch lösen, indem man in einem
Diagramm als Abszisse z, als Ordinaten einmal r;1 = tgx, dann t?2 = 7z/x
aufträgt. An den Punkten, wo die beiden Kurven sich schneiden,
ist J/i = a^so tgx = A/x, die Abszissen der Schnittpunkte sind also
die Wurzeln unserer Gleichung (19). Siehe die beigegebene Fig. 3.
Diese zeigt, daß die erste Wurzel xx zwischen Null und liegt, die