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https://doi.org/10.11588/diglit.43531#0028
Ein Diffusionsproblem.
Wir stellen uns die folgende Aufgabe: In ein von zwei parallelen
Wänden begrenztes Gebiet dringe von außen ein Stoff A, durch die
Wände diffundierend, ein, der im Innern teilweise eine chemische Um-
wandlung in einen Stoff R erfahre. A sowohl als R, verteilen sich
durch Diffusion im Innern, außerdem diffundiert R noch durch die
Wände nach außen zurück.
Zur rechnerischen Behandlung des ebengenannten Vorganges führen
wir zunächst die erforderlichen Bezeichnungen ein. Da in allen Punkten
der begrenzenden Ebenen gleiche Verhältnisse herrschen, dürfen wir
annehmen, daß auch für die übrigen den Wänden parallelen Ebenen
das gleiche gilt, d. h. daß in allen Punkten einer solchen Ebene gleiche
Werte der Konzentrationen usw. herrschen. Die einzelnen Ebenen
charakterisieren wir durch den Abstand x, den sie von der Mittelebene
haben, b sei die Breite des Gebietes, x = b[2 ist also die rechte Wand,
x = — b/2 die linke. C sei die unveränderliche Konzentration des Aus-
gangsstoffes außerhalb der Wände. K sei die veränderliche Konzen-
tration von A innerhalb der Wände. K häögt von x und ?! ab (t -
Zeit), d. h. es ändert sich mit dem Abstande von der. Wand und mit
der Zeit. K' sei die Konzentration des Umwandlungsproduktes 7t
zwischen den Wänden; außerhalb derselben sei sie null.
Den in irgendeinem gegebenen Zeitpunkt, also zu einem festen
GWert genommenen partiellen Dififerentialquotienten dK\dx nennen wir
das Konzentrationsgefälle, weil er ein Maß für die Veränderlichkeit
von 7k zwischen zwei benachbarten Punkten ist. Ist D die Diflfusions-
konstante von A, so geht der Diffusionsprozeß so vor sich, daß das
Konzentrationsgefalle dKjdx einen Diffusionsstrom hervorruft, bei wel-
chem durch die Flächeneinheit einer wandparallelen Ebene in der Zeit
dt eine Menge des diffundierenden Stoffes von dem Betrage 7) ■ —dt
von rechts nach links strömt.
Wenn wir jetzt die Tatsache mathematisch formulieren, daß die
Vergrößerung der Konzentration an einem Punkte dadurch hervor-
gerufen wird, daß in den Baum zwischen zwei wandparallelen Ebenen
Wir stellen uns die folgende Aufgabe: In ein von zwei parallelen
Wänden begrenztes Gebiet dringe von außen ein Stoff A, durch die
Wände diffundierend, ein, der im Innern teilweise eine chemische Um-
wandlung in einen Stoff R erfahre. A sowohl als R, verteilen sich
durch Diffusion im Innern, außerdem diffundiert R noch durch die
Wände nach außen zurück.
Zur rechnerischen Behandlung des ebengenannten Vorganges führen
wir zunächst die erforderlichen Bezeichnungen ein. Da in allen Punkten
der begrenzenden Ebenen gleiche Verhältnisse herrschen, dürfen wir
annehmen, daß auch für die übrigen den Wänden parallelen Ebenen
das gleiche gilt, d. h. daß in allen Punkten einer solchen Ebene gleiche
Werte der Konzentrationen usw. herrschen. Die einzelnen Ebenen
charakterisieren wir durch den Abstand x, den sie von der Mittelebene
haben, b sei die Breite des Gebietes, x = b[2 ist also die rechte Wand,
x = — b/2 die linke. C sei die unveränderliche Konzentration des Aus-
gangsstoffes außerhalb der Wände. K sei die veränderliche Konzen-
tration von A innerhalb der Wände. K häögt von x und ?! ab (t -
Zeit), d. h. es ändert sich mit dem Abstande von der. Wand und mit
der Zeit. K' sei die Konzentration des Umwandlungsproduktes 7t
zwischen den Wänden; außerhalb derselben sei sie null.
Den in irgendeinem gegebenen Zeitpunkt, also zu einem festen
GWert genommenen partiellen Dififerentialquotienten dK\dx nennen wir
das Konzentrationsgefälle, weil er ein Maß für die Veränderlichkeit
von 7k zwischen zwei benachbarten Punkten ist. Ist D die Diflfusions-
konstante von A, so geht der Diffusionsprozeß so vor sich, daß das
Konzentrationsgefalle dKjdx einen Diffusionsstrom hervorruft, bei wel-
chem durch die Flächeneinheit einer wandparallelen Ebene in der Zeit
dt eine Menge des diffundierenden Stoffes von dem Betrage 7) ■ —dt
von rechts nach links strömt.
Wenn wir jetzt die Tatsache mathematisch formulieren, daß die
Vergrößerung der Konzentration an einem Punkte dadurch hervor-
gerufen wird, daß in den Baum zwischen zwei wandparallelen Ebenen