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https://doi.org/10.11588/diglit.43535#0054
54 Heinrich Kapferer:
soll, in den Nullpunkt x = o, y — o (oder auch in y = o, 2 = 0 oder
in 2 = 0, x — 0). Dies ist bekanntlich immer ausführbar. Ist dies ge-
schehen, bei homogenen Polynomen, so setze man 2=1, so daß die
Sätze I', II', III', IV' und IV" in Kraft treten. Wir wissen aus § 7
daß die Multiplizität invariant ist, daß wir also tatsächlich bei Be-
rechnung der Multiplizität des Nullpunktes, nach der vorgenommenen
Transformation, diejenige Zahl bekommen, die wir berechnen wollen.
Es handelt sich also in jedem Falle um die Aufgabe, die Vielfach-
heit des Punktes x = o, y — o als Schnittpunkt von zwei nicht homogen
geschriebenen Kurven cp (x, y) = 0, xp (x, y) = o, 99 und xp seien teilerfremd,
zu bestimmen. Man bilde zu diesem Zweck den Ausdruck
<P (x, y) .xp(o,y) — xp (x,y). <p (o,y)
und dividiere durch yx, wo x die kleinere der beiden Zahlen
ist, welche angibt, wie oft y als Faktor in xp (p,y) \izyf.xp(o,y)
auftritt. Sei etwa y>(o,y) genau durch yx und 99 (p,y) mindestens
durch z/x teilbar, dann besteht die Identität:
9? • (0, ?/) : • 9? (0, ?/): ^ = a; • %,
wo / ganz rational in x, y ist. Dann gilt zunächst identisch
(9?. xp (0, y) : yx, xp) = (x. / + xp . 9? (0, y): yH, xp),
und zwar nach § 9 und § 10 selbst dann, wenn die durch das Komma
getrennten Polynome nicht teilerfremd sein sollten; dieser Fall tritt bei
teilerfremden Ausgangsformen 99 und xp dann und nur dann ein, wenn
y> (p,y)'. yH noch einen Teiler mit xp (x,y) gemeinsam hat. Ein solcher
verschwindet aber gerade im Punkte x = 0, y = o nicht, ist daher,
gemäß §9, nicht störend. Nun benützen wir die Sätze I', II',
III' IV' des vorigen § 10. Nach IV'a ist
0 • Z + ty, ip) = (x- %, xp).
Nach III' wird (x . y>) = (x> V) + (%’ V*)
(99. xp (0, y) : yx, xp) = (99, xp) + (99 (0, y): yx, xp)
Dabei hat das zuletzt genannte Symbol den Wert 0, weil 99 (o,y): y%
nicht mehr im Nullpunkt verschwindet. Daher folgt:
(99, xp) = (x, xp) + (7, xp).
Nach § 3, Vorschrift 1 und 6 und 7 — nach § 5 sind ja diese
Vorschriften nichts anderes als aus den Postulaten beweisbare Sätze —
wird (x, xp) = x, wo x die obige Bedeutung hat. Die Bestimmung
von (99, xp) ist demnach zurückgeführt auf die Bestimmung der um x
soll, in den Nullpunkt x = o, y — o (oder auch in y = o, 2 = 0 oder
in 2 = 0, x — 0). Dies ist bekanntlich immer ausführbar. Ist dies ge-
schehen, bei homogenen Polynomen, so setze man 2=1, so daß die
Sätze I', II', III', IV' und IV" in Kraft treten. Wir wissen aus § 7
daß die Multiplizität invariant ist, daß wir also tatsächlich bei Be-
rechnung der Multiplizität des Nullpunktes, nach der vorgenommenen
Transformation, diejenige Zahl bekommen, die wir berechnen wollen.
Es handelt sich also in jedem Falle um die Aufgabe, die Vielfach-
heit des Punktes x = o, y — o als Schnittpunkt von zwei nicht homogen
geschriebenen Kurven cp (x, y) = 0, xp (x, y) = o, 99 und xp seien teilerfremd,
zu bestimmen. Man bilde zu diesem Zweck den Ausdruck
<P (x, y) .xp(o,y) — xp (x,y). <p (o,y)
und dividiere durch yx, wo x die kleinere der beiden Zahlen
ist, welche angibt, wie oft y als Faktor in xp (p,y) \izyf.xp(o,y)
auftritt. Sei etwa y>(o,y) genau durch yx und 99 (p,y) mindestens
durch z/x teilbar, dann besteht die Identität:
9? • (0, ?/) : • 9? (0, ?/): ^ = a; • %,
wo / ganz rational in x, y ist. Dann gilt zunächst identisch
(9?. xp (0, y) : yx, xp) = (x. / + xp . 9? (0, y): yH, xp),
und zwar nach § 9 und § 10 selbst dann, wenn die durch das Komma
getrennten Polynome nicht teilerfremd sein sollten; dieser Fall tritt bei
teilerfremden Ausgangsformen 99 und xp dann und nur dann ein, wenn
y> (p,y)'. yH noch einen Teiler mit xp (x,y) gemeinsam hat. Ein solcher
verschwindet aber gerade im Punkte x = 0, y = o nicht, ist daher,
gemäß §9, nicht störend. Nun benützen wir die Sätze I', II',
III' IV' des vorigen § 10. Nach IV'a ist
0 • Z + ty, ip) = (x- %, xp).
Nach III' wird (x . y>) = (x> V) + (%’ V*)
(99. xp (0, y) : yx, xp) = (99, xp) + (99 (0, y): yx, xp)
Dabei hat das zuletzt genannte Symbol den Wert 0, weil 99 (o,y): y%
nicht mehr im Nullpunkt verschwindet. Daher folgt:
(99, xp) = (x, xp) + (7, xp).
Nach § 3, Vorschrift 1 und 6 und 7 — nach § 5 sind ja diese
Vorschriften nichts anderes als aus den Postulaten beweisbare Sätze —
wird (x, xp) = x, wo x die obige Bedeutung hat. Die Bestimmung
von (99, xp) ist demnach zurückgeführt auf die Bestimmung der um x