Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

Axiomatische Begründung des Bezoutschen Satzes. 55
kleineren Zahl (#, ip). Sollte x = o sein, so bedeutet dies, daß ip (x, y)
überhaupt nicht durch den Nullpunkt geht, also schon (9?, ip) = 0 ist.
Nun kann man (%, ip) auf dieselbe Weise weiter behandeln, wie es mit
(cp,ip) geschehen ist, gleichgültig, ob % und ip teilerfremd sind oder
nicht; denn der größte gemeinsame Teiler von / und -97 geht ja auch
in ip (o,y) : y* auf, verschwindet also nicht im Nullpunkt. Nach
endlich vielen Schritten derselben Art wird also (99, ip) berechnet sein.
Wie dieses Reduktionsverfahren nach einer anderen Richtung hin
sich als fruchtbar erweist, zeigt meine gleichzeitig erscheinende Ab-
handlung „Notwendige und hinreichende Multiplizitäts-
bedingungen zum NoETHERSchen Fundamental satz“. (Diese
Akademie-Berichte, 1927).
§ 12. Multiplizität im „einfachen“ Fall.
Der sogenannte einfache Fall des Schnitts von zwei algebraischen
Kurven ist bekanntlich folgender: Es seien cp und ip zwei teilerfremde
Polynome in x, y, und zwar
99 (x,y) — (pi~\- fPi+x + <Pi+2 + • • •
99 (x, y) = ipte + V’x + i + ^ + 2 + • • •
wo die Indizes jeweils die Dimension der betreffenden Binärform in
x, y angeben. Satz:
Wenn^ und ipK unter sich teilerfremde binäre Formen
sind, — geometrisch ausgedrückt: wenn die Kurven sich nicht im
Punkte x = 0, y = 0 berühren —, so ist der Punkt x = o, y = 0
genau i.zfach als Schnittpunkt zu zählen.
Dieser Satz kann z. B. bewiesen werden durch eingehende Unter-
suchung der Sylvester sehen Determinantendarstellung der Resultante1),
aus welcher der Faktor xi'H herauspräpariert wird, oder durch das
nicht mehr rein algebraische Hilfsmittel der Cayley sehen Reihenent-
wicklung2) für die Darstellung von Kurven in singulären Punkten.
Einfacher und durchsichtiger aber dürfte folgender Beweis sein,
der die Gleichung
9? • ip(p, y) \ yH — ip • <p(o,y) ’.y* == x • %
des vorigen § 11 und die Folgerung daraus:
(99, ip) = (x, ip) 4- (x, ip)
benützt. Wir unterscheiden zwei Fälle:
9 Vgl. etwa H. Wieleitner „Algebraische Kurven II“ S. 7. (Sammlung
Göschen.)
2) Vgl. etwa A. Brill „Algebraische Kurven“ 1925. S. 150.