Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

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Heinrich Kapferer:

1. Fall: £ = x = l. Hier kann man ansetzen:
epi — ax-\-by', y)K = cx-\-dy
Die Teilerfremdheit drückt sich aus durch ad — bc o. Nach dem
vorigen § 11 ist (x,ip) nichts anderes als die Zahl, welche angibt, wie
oft y als Faktor in ip(o,y) = d- y -\-y>2(°’y) Vv’3V.y) + • • • vorkommt.
Da nun nach Voraussetzung ad— bc o, also wenigstens eine der Größen
c und d von o verschieden ist, so kann man ohne Beschränkung der
Allgemeinheit annehmen, daß gerade d 4= o, also (x, ip) = 1 ist. Dann
!stalso (y,v) = i + (z.v),
und wir haben nur noch zu beweisen, daß (%, y>) = o ist. Das Glied
niedrigster Dimension in x • / lautet
(ax -}-by)d — (cx -f- dy)b = x(ad — bc),
woraus hervorgeht, daß % gerade ad — bc als Glied niedrigster Dimen-
sion besitzt, also eine infolge Voraussetzung von o verschiedene Kon-
stante; also ist (/, ip) = o. Damit ist der Satz für den Fall i —x = l
erledigt.
2. Fall: i und x beliebig. Wegen (99, yb) = (pp, <p) können wir an-
nehmen £>x. Durch vorhergehende Transformation kann man immer
erreichen, daß <pi(xy) o(x) und y’}i(x,y) $ o(x), also y)K(p,y) -.yH^o ist.
(Index x und Exponent x stimmen überein!) Dann lautet das Glied
niederster Dimension in x-% so:
<Pi(x, V) • w(°> y} • Ti (.0, y): yH.

Dieser Ausdruck hat die Eigenschaft: Er ist genau von der Di-
mension i und teilerfremd zu 1/.^; letzteres, weil cp^ und ipK nach
Voraussetzung teilerfremd sind. Darnach hat / selbst als Glied nied-
rigster Dimension eine nicht identisch verschwindende binäre Form
(i —l)ter Ordnung, die teilerfremd ist zu y)K(x,y).
Es sei nun der Satz schon bewiesen für i' — i — 1, x' = x, so daß
also (/, ip) = (i — 1) • x ist; dann folgt wegen (x, yb) = x
(99, yi) = x + (i — 1) • x = f • x.
Wir haben also den Induktionsschluß: Der Satz (cp, yb) = i- x ist
richtig bei i > x, wenn er schon richtig ist für = i — Nach-
dem er nun oben schon für f = x = 1 bewiesen worden, ist er jetzt
allgemein bewiesen.
Als Ergänzung zur präzisen Formel (99, yb) = i-x im „einfachen“
Fall gibt es im allgemeinen Fall, wo also cpt und y>H nicht teiler-