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https://doi.org/10.11588/diglit.43535#0077
Notwendige und hinreichende Multiplizitätsbedingungen.
77
Im vorliegenden Fall ist (99) = 4; (ip) = 3; also fx = 92; — yj.
Die erste Gleichung des Systems (8) liefert hx = x • (x—y)', also
(7/4) — 00; daher ist /*2 = + ; g2 = gx-, hierauf liefert die zweite Gleichung
von (8): h2 = x—y, also (7?2)=1; daher f3 = g2; g3~h2; die dritte
Gleichung von (8) liefert h3= —x—y2; also (A3) = 2; daher -
g^ —g3; die vierte Gleichung von (8) liefert endlich /i4 = \-\-y.
Da also 7z4 (0, 0) 4 0, so ist 4 = 7 und nach Satz (33) ist auch
Minimum v — 4.
Um w zu bestimmen, benütze man System (26).
[99] = 3; [y>] = 2, also f\ = (p; g{= y>. Die erste Gleichung von
(26) liefert h' = y2 • (gg—x\ Man findet sukzessive
\ ~ y J ^3 = y~~x '■> K = —x—y2, schließlich A' = 1 + y-
Da also h'.o (0,0) 4 0, so ist 5 = 7' und nach Satz (34) ist auch
Minimum w = 5.
Ähnlich sind die Zahlen av a2, a3, a4 zu bestimmen. Das Gesamt-
ergebnis ist folgendes:
x^ = o (q); x3 y1 = 0 (q); x2 y2 ~ 0 (q); x2y3 = 0 (q);
x1y^ = o(^g); y5 = 0 (q),
wo die Exponenten von x jeweils die niedrigsten sind, für welche
die betreffende Kongruenz erfüllt ist.
In dem vorliegenden Beispiel hat also q den Minim al wert
q = 5.
Schließlich kann man auch noch die Formel (24) für die allge-
meine Multiplizitätsbestimmung an vorliegendem Beispiel veranschau-
lichen :
Wegen (<7i) + (p2) + (p3) + (p4) = 3 + 34-1 + 1 = 8
ist 8 die genaue Multiplizität.
Ferner können wir jetzt auch die Bert in ische Formel (siehe
Einleitung) nachprüfen; da in unserem Fall /z=8; 7 = 3; x = 2 ist,
so wird y — (i — 1) (x — 1) = 6. Aus diesem Ergebnis geht zugleich
die [von Bertini wie es scheint nicht vermerkte] Tatsache hervor:
Die Bertinisehe Zahl y—(i — l)(x — 1) bedeutet nur eine
obere Schranke für den Minimalwert von p.
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Im vorliegenden Fall ist (99) = 4; (ip) = 3; also fx = 92; — yj.
Die erste Gleichung des Systems (8) liefert hx = x • (x—y)', also
(7/4) — 00; daher ist /*2 = + ; g2 = gx-, hierauf liefert die zweite Gleichung
von (8): h2 = x—y, also (7?2)=1; daher f3 = g2; g3~h2; die dritte
Gleichung von (8) liefert h3= —x—y2; also (A3) = 2; daher -
g^ —g3; die vierte Gleichung von (8) liefert endlich /i4 = \-\-y.
Da also 7z4 (0, 0) 4 0, so ist 4 = 7 und nach Satz (33) ist auch
Minimum v — 4.
Um w zu bestimmen, benütze man System (26).
[99] = 3; [y>] = 2, also f\ = (p; g{= y>. Die erste Gleichung von
(26) liefert h' = y2 • (gg—x\ Man findet sukzessive
\ ~ y J ^3 = y~~x '■> K = —x—y2, schließlich A' = 1 + y-
Da also h'.o (0,0) 4 0, so ist 5 = 7' und nach Satz (34) ist auch
Minimum w = 5.
Ähnlich sind die Zahlen av a2, a3, a4 zu bestimmen. Das Gesamt-
ergebnis ist folgendes:
x^ = o (q); x3 y1 = 0 (q); x2 y2 ~ 0 (q); x2y3 = 0 (q);
x1y^ = o(^g); y5 = 0 (q),
wo die Exponenten von x jeweils die niedrigsten sind, für welche
die betreffende Kongruenz erfüllt ist.
In dem vorliegenden Beispiel hat also q den Minim al wert
q = 5.
Schließlich kann man auch noch die Formel (24) für die allge-
meine Multiplizitätsbestimmung an vorliegendem Beispiel veranschau-
lichen :
Wegen (<7i) + (p2) + (p3) + (p4) = 3 + 34-1 + 1 = 8
ist 8 die genaue Multiplizität.
Ferner können wir jetzt auch die Bert in ische Formel (siehe
Einleitung) nachprüfen; da in unserem Fall /z=8; 7 = 3; x = 2 ist,
so wird y — (i — 1) (x — 1) = 6. Aus diesem Ergebnis geht zugleich
die [von Bertini wie es scheint nicht vermerkte] Tatsache hervor:
Die Bertinisehe Zahl y—(i — l)(x — 1) bedeutet nur eine
obere Schranke für den Minimalwert von p.