DOI Seite / Zitierlink:
https://doi.org/10.11588/diglit.43535#0078
78
Heinrich Kapferer:
Zweite Anwendung:
Zu einem beachtenswerten Resultat führt der Hauptsatz (21) in
folgendem Spezialfall:
Die Nullstelle von q = (99, ip, p°) sei einfacher Punkt in ip.
Wir untersuchen AT=o(q), vorausgesetzt: K teilerfremd zu ip.
Wenn x — o, y = o einfacher Punkt von ip, also wenigstens eines
ps p\
der Polynome und - in diesem Punkt von Null verschieden, also
ox öy
etwa — 4= o ist, so ist ip (o,y) # o(y2), also (ip) = 1. Dann ist sicher
erfüllt (99) > (ip) und man darf ansetzen = 99; gt = ip. Da nun auch
(ö'i) = 1, so steht es mit der Definition von g2 in Einklang, daß auch
.92 = 9i gewählt wird, falls nur t^>2, ebenso gs = gx; 4.. gt = gv Dann
wird aber (ft) = fe) = ... = (</,) = !
und nach Satz (24) ergibt sich im vorliegenden Fall
(35) (99, ip) = (A, g^ = t.
Ersetzt man in System (11) sämtliche Polynome gv g2, .. . . gt
durch gv so liest man folgende Multiplizitätsrelationen für den Punkt
x = 0, y = 0 ab. (Begründung und Symbolik ganz dieselbe wie für
die analogen Relationen (22)).
9i) — 9i) 1 (^2’ 9i) — 1 + (^2> 9i)
(^2,9i) = GU 9i) + (^3> 9i) = 1 + (^3> 9i)
(%t, 9i) = 9i) + +1,9i) = 1 + +1,9i)
Hieraus folgt:
(W2, gj = (Kv gj — 1; (A73, gj = (Kv gj — 2; und schließlich
(A7f, g±) = gt) — (t— 1). Die Multiplizitätszahlen (A7P g^, (K2, gx). • .
(Kt,gA) sind also dann und nur dann noch sämtlich größer als Null,
wenn (A7V g^) )>t ist; d. h. auch: Die Polynome Kv K2, . . . Kt ver-
schwinden dann und; nur dann noch sämtlich im Punkte x = o, y = o,
wenn (Kx, gA) t ist. Wenn aber A), K2, ... Kt sämtlich im Punkte
x = 0, y = 0 verschwinden, und nur dann, sind die t Ungleichungen
(^)'^l; (Af2)^l; ...(^)>1
sämtlich erfüllt. Die Erfüllung dieser letzteren Ungleichungen ist aber
gerade jene notwendige undhinreichende Bedingung des Hauptsatzes
(21), ausgesprochen für den vorliegenden Fall (gj-^) = (g2) = ... = (eg') = 1.
Heinrich Kapferer:
Zweite Anwendung:
Zu einem beachtenswerten Resultat führt der Hauptsatz (21) in
folgendem Spezialfall:
Die Nullstelle von q = (99, ip, p°) sei einfacher Punkt in ip.
Wir untersuchen AT=o(q), vorausgesetzt: K teilerfremd zu ip.
Wenn x — o, y = o einfacher Punkt von ip, also wenigstens eines
ps p\
der Polynome und - in diesem Punkt von Null verschieden, also
ox öy
etwa — 4= o ist, so ist ip (o,y) # o(y2), also (ip) = 1. Dann ist sicher
erfüllt (99) > (ip) und man darf ansetzen = 99; gt = ip. Da nun auch
(ö'i) = 1, so steht es mit der Definition von g2 in Einklang, daß auch
.92 = 9i gewählt wird, falls nur t^>2, ebenso gs = gx; 4.. gt = gv Dann
wird aber (ft) = fe) = ... = (</,) = !
und nach Satz (24) ergibt sich im vorliegenden Fall
(35) (99, ip) = (A, g^ = t.
Ersetzt man in System (11) sämtliche Polynome gv g2, .. . . gt
durch gv so liest man folgende Multiplizitätsrelationen für den Punkt
x = 0, y = 0 ab. (Begründung und Symbolik ganz dieselbe wie für
die analogen Relationen (22)).
9i) — 9i) 1 (^2’ 9i) — 1 + (^2> 9i)
(^2,9i) = GU 9i) + (^3> 9i) = 1 + (^3> 9i)
(%t, 9i) = 9i) + +1,9i) = 1 + +1,9i)
Hieraus folgt:
(W2, gj = (Kv gj — 1; (A73, gj = (Kv gj — 2; und schließlich
(A7f, g±) = gt) — (t— 1). Die Multiplizitätszahlen (A7P g^, (K2, gx). • .
(Kt,gA) sind also dann und nur dann noch sämtlich größer als Null,
wenn (A7V g^) )>t ist; d. h. auch: Die Polynome Kv K2, . . . Kt ver-
schwinden dann und; nur dann noch sämtlich im Punkte x = o, y = o,
wenn (Kx, gA) t ist. Wenn aber A), K2, ... Kt sämtlich im Punkte
x = 0, y = 0 verschwinden, und nur dann, sind die t Ungleichungen
(^)'^l; (Af2)^l; ...(^)>1
sämtlich erfüllt. Die Erfüllung dieser letzteren Ungleichungen ist aber
gerade jene notwendige undhinreichende Bedingung des Hauptsatzes
(21), ausgesprochen für den vorliegenden Fall (gj-^) = (g2) = ... = (eg') = 1.