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https://doi.org/10.11588/diglit.43535#0076
76
Heinrich Kapferer:
(33)
Die kleinste natürliche Zahl derart, daß
xv = o (cp, yj, pö), p = (x,«/)
ist, ist gleich jener bestimmten Zahl t des Satzes (20), nämlich
gleich dem Index des ersten nicht im Punkte x = o, y — o
verschwindenden Polynoms aus der Reihe 7?15 7z2, 7?3, . . .
Analog findet man, indem man Satz (20) sinngemäß auf System (26)
an wendet:
Die kleinste natürliche Zahl w derart, daß
. , yw=o (cp, y>, pö), p = (x, y\
ist, ist gleich dem Index t' des ersten nicht im Punkte x = o,
y = o verschwindenden Polynoms aus der Reihe Tzf, h2, 7i3,.. .
Aus Satz (25) ergibt sich noch der
Zusatz:
Die Minimalzahlen v und w der Sätze (33) und (34) über-
schreiten keinesfalls die Schnittpunktmultiplizi-
tät des Punktes x = o, y = o im Kurvenpaar (p = o, ip = o.
Aber auch der kleinste Exponent ax läßt sich bestimmen, so daß
xai y1 = o (q).
Man nehme hierzu x^y1 als Polynom K(x,y) und schreibe die erste
Gleichung der Systeme (8) und (11) „in y“ an. Dadurch wird K2 = xai',
dann sind (8) und (11) „in xil weiter fortzusetzen. Die Anzahl der
letzteren, nämlich der „in xil gebildeten Gleichungen, ist dann die ge-
suchte Zahl av Analog bestimmt man die kleinsten Zahlen ct2, ct3,...
i derart, daß
xaiy2 = o (q); xaiyz = o (q); . . . xa™~i yw~r ~ o (q),
wo w die Bedeutung von (34) hat. Sind diese Bestimmungen durch-
geführt, so ist klar, daß man hiermit sofort auch den M in im al-
exponenten q des Hauptsatz (1) angeben kann, für welchen die
Relation
(99, ip, pe) =(9?, y>, pö) für alle o > q
erfüllt ist, d. h. auch die kleinste Zahl q, für welche die (@ + l) Kon-
gruenzen
xe = o (q), 1y1 = 0 (q),. . . yQ = o (q)
simultan erfüllt sind. (Idealtheoretisch bedeutet q den zum Primär-
ideal q „gehörigen“ Exponenten.)
Die Methode soll noch an einem numerischen Beispiel
durchgeführt werden:
Es sei 99 = £3+?/4; = #2+«/3.
Heinrich Kapferer:
(33)
Die kleinste natürliche Zahl derart, daß
xv = o (cp, yj, pö), p = (x,«/)
ist, ist gleich jener bestimmten Zahl t des Satzes (20), nämlich
gleich dem Index des ersten nicht im Punkte x = o, y — o
verschwindenden Polynoms aus der Reihe 7?15 7z2, 7?3, . . .
Analog findet man, indem man Satz (20) sinngemäß auf System (26)
an wendet:
Die kleinste natürliche Zahl w derart, daß
. , yw=o (cp, y>, pö), p = (x, y\
ist, ist gleich dem Index t' des ersten nicht im Punkte x = o,
y = o verschwindenden Polynoms aus der Reihe Tzf, h2, 7i3,.. .
Aus Satz (25) ergibt sich noch der
Zusatz:
Die Minimalzahlen v und w der Sätze (33) und (34) über-
schreiten keinesfalls die Schnittpunktmultiplizi-
tät des Punktes x = o, y = o im Kurvenpaar (p = o, ip = o.
Aber auch der kleinste Exponent ax läßt sich bestimmen, so daß
xai y1 = o (q).
Man nehme hierzu x^y1 als Polynom K(x,y) und schreibe die erste
Gleichung der Systeme (8) und (11) „in y“ an. Dadurch wird K2 = xai',
dann sind (8) und (11) „in xil weiter fortzusetzen. Die Anzahl der
letzteren, nämlich der „in xil gebildeten Gleichungen, ist dann die ge-
suchte Zahl av Analog bestimmt man die kleinsten Zahlen ct2, ct3,...
i derart, daß
xaiy2 = o (q); xaiyz = o (q); . . . xa™~i yw~r ~ o (q),
wo w die Bedeutung von (34) hat. Sind diese Bestimmungen durch-
geführt, so ist klar, daß man hiermit sofort auch den M in im al-
exponenten q des Hauptsatz (1) angeben kann, für welchen die
Relation
(99, ip, pe) =(9?, y>, pö) für alle o > q
erfüllt ist, d. h. auch die kleinste Zahl q, für welche die (@ + l) Kon-
gruenzen
xe = o (q), 1y1 = 0 (q),. . . yQ = o (q)
simultan erfüllt sind. (Idealtheoretisch bedeutet q den zum Primär-
ideal q „gehörigen“ Exponenten.)
Die Methode soll noch an einem numerischen Beispiel
durchgeführt werden:
Es sei 99 = £3+?/4; = #2+«/3.