Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

Über die Zerlegungen einer Mischgruppe nach einer Untermischgruppe. 7

auch 11 in sich übergeht. Da bei A die Identität in sich übergeht,
ist A^E Untergruppe von U und also: A^E = U^E.
c) Da U* Untergruppe von U ist, und da U* hinsichtlich IX transitiv
ist, geht bei U die Identität aus 9)1 in alle Elemente von 11 über; also
ist U hinsichtlich 11 transitiv.
d) Sei Ua eine Klasse von A nach U. Dann repräsentiert Ua
genau eine Klasse Y von 9)1 nach 11, nämlich die Menge der Elemente
aus 911, in die die Identität aus 9)1 durch Elemente aus Ua übergeführt
wird. Denn nach der Konstruktion von A führt a mit der Identität
auch ganz 11 in Y über und, wenn u alle Elemente aus U durchläuft, so
durchläuft ua alle Elemente aus Y.
e) Ist Uax h Ua2, so sind auch die Klassen Y1 und Y2, die sie bzw.
repräsentieren, verschieden. Wäre nämlich = U2, so würde Ua1a21die
Mischgruppe 11 in sich überführen; es wäre also Ua^ä1 = U oder
Ua! = Ua2 im Widerspruch mit unserer Annahme.
Aus dem Beweis folgt auch noch der wichtige
Zusatz : Eine Zerlegung von 9)1 in Klassen nach 11 dann und
nur dann realisierbar, wenn die Gruppe A aller kongruenten Abbildungen
zu 9)1 konform und die Untergruppe U von A, bei der 11 in sich übergeht,
hinsichtlich 11 transitiv ist.
Bei dem Beweise wurde ja nur vorausgesetzt, daß A eine Gruppe
kongruenter Abbildungen ist, A eine zu 9)1 konforme, U eine hinsichtlich
11 transitive Untergruppe besitzt.
Satz 4: Ist U speziell eine Untergruppe des Kernes ft, so wird die
Zerlegung von 9)1 nach 11 (cf. Satz 1 des § 1 von Mg\) realisiert1}, wenn
man die Gruppe M aller ähnlichen Abbildungen von 9)1 auf sich nach der
Untergruppe U aller und nur der Elemente aus M zerlegt, bei denen 11 in
sich übergeht.2)
Die Bedingung 1 von (Z) ist wegen Satz 3 des § 2 von Mg erfüllt;
da 11 als Untergruppe von ft' bei Abbildungen aus M dann und nur dann
invariant bleibt, wenn ft' dies tut (cf. Satz 1 des § 1 von Mg!), so ist E
Untergruppe von U; also erfüllt mit M auch U die Bedingung des Satz 5
des § 2 von Mg, woraus 2 von (Z) folgt; die Bedingung 3 von (Z) folgt
daraus ebenfalls, da
M-E = U-E = E
gilt.
Es bleibt noch zu zeigen, daß die von M, U realisierte Zerlegung
von 9)1 nach II mit der des Satzes 1 des § 1 von Mg übereinstimmt: seien
U Diese Zerlegung ist auch die einzige realisierbare Zerlegung.
2) Hier wird, wie im Zweifelsfalle stets vorausgesetzt, daß 9)1 von der
singulären Mischgruppe verschieden ist,