Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

12 Reinhold Baer:
Es ist noch die Transitivität von Uf gegenüber Ux zu zeigen. Da
aber nach Anm. 1) S. 9 bei kongruenten Abbildungen vollständige, zu-
sammenhängende Systeme wieder in solche übergehen, so umfaßt U* alle
und nur die Elemente aus M*, bei denen die Identität aus 9k in Elemente
aus U-l übergeht. Also folgt aus der Transitivität von M* die von U*.
Man sieht, daß durch Satz 1 alle Zerlegungen auf einfache und solche
1. Art zurückgeführt sind.
Definition 3: Eine [einfache} Zerlegung heißt eine. Zerlegung 2. Art,
wenn jede Klasse nach U mit ft inzidiert.
Satz 2: Eine Zerlegung ist dann und. nur dann 2. Art, wenn jede
Klasse nach ft mit U inzidiert, vorausgesetzt, daß die Gruppe der kongruenten
Abbildungen transitiv ist.
Denn sonst gäbe es, die Transitivität von M* vorausgesetzt, eine
Klasse nach ft bzw. nach 11, die nicht mit allen Klassen nach U bzw. nach
ft inzidierte und also kongruente Abbildungen von 9k auf sich, bei denen
die Gesamtheit der Klassen nach II bzw. nach ft in einen Teil überginge,
was mit der Eineindeutigkeit der kongruenten Abbildungen in Wider-
spruch steht.
Definition 4: Eine einfache Zerlegung heißt eine Zerlegung 3. Art,
wenn es zu jeder mit ft inzidierenden Klasse Y 4 U nach II wenigstens
eine mit II inzidierende Klasse K nach ft1 gibt, so daß K und Y nicht in-
zidieren, d. h. K ^Y = 0.
S atz 3: Eine einfache Zerlegung ist entweder 2. Art oder 3. Art
oder sie läßt sich auf eine 2. und eine 3. Art zurückführen.
Umfasse Ux alle und nur die Klassen Y von 9k nach 11, welche mit
allen und nur den Klassen nach ft inzidieren, die mit II inzidieren1).
Ist U1 = 9k, so ist 11 2. Art in 9k;
Ist Ut = 11, so ist II 3. Art in 9k.
Ebenso wie beim Beweis des Satz 1 führen wir jetzt den Beweis
unseres Satzes auf den Beweis der Tatsache zurück, daß bei kongruenten
Abbildungen von 9k auf sich Ux entweder in sich oder in ein fremdes
System übergeht. Dies folgt aber daraus, daß jede Klasse nach U, die
nicht zu U-, gehört, mit einer Klasse nach ft inzidiert, die nicht mit den
Klassen von llx inzidiert. — (
Damit ist das Studium, der Zerlegungen überhaupt auf das der Zer-
legungen 1., 2. und 3. Art zurückgeführt.
Man beachte die ausgezeichnete Stellung der Zerlegungen 1. und 2. Art.
Ob nach einer Untermischgruppe U allein eine Zerlegung 1. bzw. 2. Art möglich ist,
hängt nur von der Struktur von 11 ab (ob nämlich II Untermischgruppe 1. oder 2.
Art ist; vgl. Satz 2!). Dies ist aber bei den Zerlegungen 3. Art nicht mehr der Fall.

b Die also mit den gleichen Klassen nach ft inzidieren wie U selbst.