Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

Über die Zerlegungen einer Mischgruppe nach einer Untermischgruppe. 19
A. Es liege ein Isomorphismus a von auf sich vor, der eine iso-
morphe Zuordnung der Zerlegungen bewirke. Es seien die Bezeichnungen
so gewählt, daß bei a die Klasse der ersten Zerlegung in die Klasse
der zweiten übergehe.
Weiter induziere a den Isomorphismus i von || Sl / St - 111|
i: (St-U) -> (St-U) fr(i)
und a führe die Klasse Kc von W nach in die Klasse Kc^ über.
. Es ist St - Yf> = (St - II) fr und St - Y^ = (St - 11) f„(i). Ist weiter
für Kc die Abbildung
c: (St-U) f„->(St-U) f,(c)
der ersten Zerlegung charakteristisch, für /fc(a) die Abbildung
c(a): (St-11) -> (St -II) fr(c(a))
der zweiten Zerlegung charakteristisch, so ist:
Kc ~ YV} = (St’ - U) f^c-i) a0 und
■^c(a) (St — II) f[p(i)] [{c(a)}"1] ^c(a)
(St — LI) fj,(i[c(a)]-i) äc(a)
Hierbei sei c(a) so ausgewählt, daß bei a auch 5C in nc(a) übergeht (bei
a geht ja ll in sich über). Dann geht bei dem Isomorphismus a von
W auf sich
Kc - Y™ = (St ' - 11) fr(c-i) ac in
-^c(a) ° — (Sl — II) f[p(c'1)](i) ßc(a) = (h U) fpfc-1!) &c(a)
über; also ist:
(St - II) fp(c-ii) = (St - 11) fvdeca)-1) und c_1 i = i c_1(a) oder
c(a) = i_1 c i.
Da also die Gesamtheit der Klassen nach St, für die in der ersten
Zerlegung c charakteristisch ist, durch a in die Menge der Klassen
übergeführt ist, für die r1 c i in der zweiten Zerlegung charakteristisch
ist, so folgt auch die Notwendigkeit der Bedingung 2.
Daß A = i_1 A i ist, folgt schließlich daraus, daß bei i die Klasse
St - ll in sich übergeht, deren Elemente gerade A induzieren.
B. Ist Kc eine Klasse ähnlicher Klassen der ersten Zerlegung, für
die die Abbildung c von || St / St - U || charakteristisch ist, so wird
Kc durch Bedingung 1 die Klasse Ki-ici zugeordnet, für die i_1 c i
charakteristisch ist. Durch die Bedingung 2 wird den einzelnen Klassen
die zu Ko gehören, eineindeutig die Klasse Ki-iCj, „ aus Ki-ici
zugeordnet, speziell St sich selbst.
Sei jetzt ä ein Isomorphismus von Sl, der in || St / $ - U || gerade
i induziert; wir haben ä geeignet zu erweitern.