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https://doi.org/10.11588/diglit.43602#0009
Über Schnittpunktsysteme mit vorgeschriebenen Multiplizitätszahlen 9
Falls die Gleichungen (11) überhaupt miteinander verträglich sind,
möo-e A' irgendein Wertsystem bedeuten, welches dem
System (11) genügt. Man denke sich diese Werte A' in die all-
gemeinen Polynome F/z (x, y, A) substituiert; dann behaupten wir:
Diejenigen und nur diejenigen unter den Polynomen FM (x, y, A')
~fm(xy) haben die Eigenschaften, welche in Problem II ver-
langt werden, welche teilerfremd sind zu dem gegebenen Grund-
polynom gN (x, y).
Denn der Rang eines Punktes P setzt, unserer Definition nach,
zwei teilerfremde Polynome voraus. Aus der Teilerfremdheit folgt
dann nach dem Kriterium (2), daß wenigstens eine der m-w+1
Gleichungen
(13) Po (a, ß, A’, B') = 0-,...-,JMN (a, ß, A', B'j = 0
nicht erfüllt ist. Sei etwa x die kleinste Zahl von der Art, daß
(a, ß, A', B,y) + 0, während gleichzeitig
J0(a,ß,A',B') = 0;...; Jx_r (a, ß, A',B') = 0
ist; dann ist nach (2) der Rang von P in bezug auf/", g genau gleich x.
Der Rang ist also dann und nur dann >/z, wenn xP/z, und wenn
gleichzeitig /", g teilerfremde Polynome bedeuten.
Der Satz (13) gibt tatsächlich schon das Mittel an die Hand,
alle Lösungen des Problems II zu finden, falls überhaupt solche exi-
stieren. Aber das Ergebnis ist noch insofern unbefriedigend, als es
nichts über die Existenz von Lösungen a priori aussagt, ohne daß die
Lösungsmethode durchgeführt werden muß. Wir werden im folgenden
in der Tat zeigen, wie man a priori entscheiden kann, ob und wann
und wieviele Lösungen das Problem II zuläßt. Die Konstruktion der
Lösungen selbst dagegen erfordert natürlich die Auflösung des Gleichungs-
systems (11) nach den Koeffizienten A gemäß dem Satze (13).
§ 3. Über den Rang eines Moduls von Polynomen, deren Koeffizienten
einem linearen Gleichungssystem genügen.
In diesem § 3 beweisen wir einen allgemeinen Satz über Moduln
von Polynomen, auf den sich die weiteren Überlegungen stützen werden.
Es seien s Polynome in x, y, etwa fx, ..., fs fest gegeben. Die
Gesamtheit der Polynome in x, y, welche sich linear und homogen
durch jene s gegebene Polynome ausdrücken läßt, also in der Form
ci' ü + c2 A + • • + cs/s> wobei die Koeffizienten c irgendwelche komplexe
Zahlen bedeuten, bezeichnen wir als einen Modul von Polynomen
mit s-gliedriger Basis fx, f2, . .., fs. Eine Basis soll insbesondere
Falls die Gleichungen (11) überhaupt miteinander verträglich sind,
möo-e A' irgendein Wertsystem bedeuten, welches dem
System (11) genügt. Man denke sich diese Werte A' in die all-
gemeinen Polynome F/z (x, y, A) substituiert; dann behaupten wir:
Diejenigen und nur diejenigen unter den Polynomen FM (x, y, A')
~fm(xy) haben die Eigenschaften, welche in Problem II ver-
langt werden, welche teilerfremd sind zu dem gegebenen Grund-
polynom gN (x, y).
Denn der Rang eines Punktes P setzt, unserer Definition nach,
zwei teilerfremde Polynome voraus. Aus der Teilerfremdheit folgt
dann nach dem Kriterium (2), daß wenigstens eine der m-w+1
Gleichungen
(13) Po (a, ß, A’, B') = 0-,...-,JMN (a, ß, A', B'j = 0
nicht erfüllt ist. Sei etwa x die kleinste Zahl von der Art, daß
(a, ß, A', B,y) + 0, während gleichzeitig
J0(a,ß,A',B') = 0;...; Jx_r (a, ß, A',B') = 0
ist; dann ist nach (2) der Rang von P in bezug auf/", g genau gleich x.
Der Rang ist also dann und nur dann >/z, wenn xP/z, und wenn
gleichzeitig /", g teilerfremde Polynome bedeuten.
Der Satz (13) gibt tatsächlich schon das Mittel an die Hand,
alle Lösungen des Problems II zu finden, falls überhaupt solche exi-
stieren. Aber das Ergebnis ist noch insofern unbefriedigend, als es
nichts über die Existenz von Lösungen a priori aussagt, ohne daß die
Lösungsmethode durchgeführt werden muß. Wir werden im folgenden
in der Tat zeigen, wie man a priori entscheiden kann, ob und wann
und wieviele Lösungen das Problem II zuläßt. Die Konstruktion der
Lösungen selbst dagegen erfordert natürlich die Auflösung des Gleichungs-
systems (11) nach den Koeffizienten A gemäß dem Satze (13).
§ 3. Über den Rang eines Moduls von Polynomen, deren Koeffizienten
einem linearen Gleichungssystem genügen.
In diesem § 3 beweisen wir einen allgemeinen Satz über Moduln
von Polynomen, auf den sich die weiteren Überlegungen stützen werden.
Es seien s Polynome in x, y, etwa fx, ..., fs fest gegeben. Die
Gesamtheit der Polynome in x, y, welche sich linear und homogen
durch jene s gegebene Polynome ausdrücken läßt, also in der Form
ci' ü + c2 A + • • + cs/s> wobei die Koeffizienten c irgendwelche komplexe
Zahlen bedeuten, bezeichnen wir als einen Modul von Polynomen
mit s-gliedriger Basis fx, f2, . .., fs. Eine Basis soll insbesondere