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https://doi.org/10.11588/diglit.43602#0011
Über Schnittpunktsysteme mit vorgeschriebenen Multiplizitätszahlen H
Beweis: Da es sich nach Voraussetzung um ein 'verträgliches Glei-
chungssystem handelt, d. h. um ein solches mit r ß so kann
man, wenigstens einmal, nach gewissen r der Unbestimmten Alf A2. .Aw
auflösen, etwa nach A,....Ar; mit dem Ergebnis:
(16) A\ = Zx (^4r-|-i, • • ., Aw~) ; • • •; A r = lr (-4r-p!?•••, Aw),
wo die Z{ lineare und homogene Ausdrücke in den Unbestimmten
+ . . . Aw sind mit Koeffizienten aus dem Koeffizientenkörper jenes
linearen Gleichungssystems. Das Ergebnis (16) in -4^ +...+ Aw-bw
eingesetzt liefert — wenn man noch ordnet nach + ...,
(17) Ar +1 • (br +1 + Lr +1) + • • • + ‘ (Vr +1 + Lr x),
w7o die Lr + x,..., Lw linear und homogen in den bi• • • K sind, aber
keines der Potenzprodukte bz + p • • •> mehr enthalten. Da A^ + p...,
Aw in (17) beliebige Werte annehmen dürfen, so können wir sagen:
Die Gesamtheit der in (15) verlangten Polynome ist jedenfalls ein
Modul von Polynomen mit w—r Basispolynomen, letztere definiert durch
(18) br + i ~I- "Fi ' + i
für i= 1,2,..w — r.
Der Satz (15) wird also bewiesen sein, wenn wir noch zeigen
können, daß die angegebenen w —r Basispolynome eine Minimalbasis
bilden, d. h. daß sie linear unabhängig sind. Dies ist tatsächlich der
Fall; denn andernfalls gäbe es w — r Konstante
(cr+1,...,cj + (0,0,... 0),
(19) so daß cr + 1Zfr + 1 + ... + cw-ZfM, = 0
eine Identität in x,y wäre. Da nun die Lr+i, ihrer Definition nach,
keines der Potenzprodukte _p 13..., in sich enthalten, so würde
aus (18) und (19) folgen, daß schon cr +1 • br + i + ••• + cw- bM = 0 iden-
tisch in x, y wäre, d. h. daß br+ !>•••> fw voneinander abhängig wären.
Das widerspricht aber der Definition der y als die verschiedenen
Potenzprodukte xayß mit a-\- ß
Damit ist Satz (15) bewiesen.
§ 4. Existenzkriterium und Anzahl der Lösungen.
Wir verfolgen das Ziel, zu zeigen, daß die Gesamtheit der Lö-
sungen des Problems I einen Modul aus Polynomen bildet, dessen
Rang explizite angegeben werden kann, sobald der Rang r der Koeffi-
zientenmatrix der Gleichungen (11) bekannt ist.
Zunächst folgt schon aus der Definition eines Moduls von Poly-
nomen der Satz:
Beweis: Da es sich nach Voraussetzung um ein 'verträgliches Glei-
chungssystem handelt, d. h. um ein solches mit r ß so kann
man, wenigstens einmal, nach gewissen r der Unbestimmten Alf A2. .Aw
auflösen, etwa nach A,....Ar; mit dem Ergebnis:
(16) A\ = Zx (^4r-|-i, • • ., Aw~) ; • • •; A r = lr (-4r-p!?•••, Aw),
wo die Z{ lineare und homogene Ausdrücke in den Unbestimmten
+ . . . Aw sind mit Koeffizienten aus dem Koeffizientenkörper jenes
linearen Gleichungssystems. Das Ergebnis (16) in -4^ +...+ Aw-bw
eingesetzt liefert — wenn man noch ordnet nach + ...,
(17) Ar +1 • (br +1 + Lr +1) + • • • + ‘ (Vr +1 + Lr x),
w7o die Lr + x,..., Lw linear und homogen in den bi• • • K sind, aber
keines der Potenzprodukte bz + p • • •> mehr enthalten. Da A^ + p...,
Aw in (17) beliebige Werte annehmen dürfen, so können wir sagen:
Die Gesamtheit der in (15) verlangten Polynome ist jedenfalls ein
Modul von Polynomen mit w—r Basispolynomen, letztere definiert durch
(18) br + i ~I- "Fi ' + i
für i= 1,2,..w — r.
Der Satz (15) wird also bewiesen sein, wenn wir noch zeigen
können, daß die angegebenen w —r Basispolynome eine Minimalbasis
bilden, d. h. daß sie linear unabhängig sind. Dies ist tatsächlich der
Fall; denn andernfalls gäbe es w — r Konstante
(cr+1,...,cj + (0,0,... 0),
(19) so daß cr + 1Zfr + 1 + ... + cw-ZfM, = 0
eine Identität in x,y wäre. Da nun die Lr+i, ihrer Definition nach,
keines der Potenzprodukte _p 13..., in sich enthalten, so würde
aus (18) und (19) folgen, daß schon cr +1 • br + i + ••• + cw- bM = 0 iden-
tisch in x, y wäre, d. h. daß br+ !>•••> fw voneinander abhängig wären.
Das widerspricht aber der Definition der y als die verschiedenen
Potenzprodukte xayß mit a-\- ß
Damit ist Satz (15) bewiesen.
§ 4. Existenzkriterium und Anzahl der Lösungen.
Wir verfolgen das Ziel, zu zeigen, daß die Gesamtheit der Lö-
sungen des Problems I einen Modul aus Polynomen bildet, dessen
Rang explizite angegeben werden kann, sobald der Rang r der Koeffi-
zientenmatrix der Gleichungen (11) bekannt ist.
Zunächst folgt schon aus der Definition eines Moduls von Poly-
nomen der Satz: