Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

Über Schnittpunktsysteme mit vorgeschriebenen Multiplizitätszahlen 13

des Moduls TQj in Satz (20) genügen also auch den linearen Glei-
chungen (11); weil ja
(a? ß> A , B = 7(v) ß')
ist. Daher ist der Modul des Satzes (20) ein Teilmodul des
Moduls Ti des Satzes (21). Daher bilden die nicht in OJtj enthaltenen
Polynome des Moduls 5JI für sich allein einen Modul Tl2> dessen Pang
gegeben ist durch
Nach Satz (13) haben nun gerade die Polynome des Moduls *Dt2, und
nur diese, die Eigenschaften, welche in Problem I verlangt werden.
Daher der Satz:

(23a)

Bei M>N bildet die Gesamtheit der Lösungen des Pro-
blems I, falls es überhaupt Lösungen gibt, einen Modul vom
Bange

d. h. auch: Aus der Gesamtheit der Lösungen des Problems I kann
man stets und nicht mehr, linear unabhängige Polynome auswählen;
hat man eine solche Auswahl getroffen, so ist der durch sie als Mini-
malbasis bestimmte Modul identisch mit der Gesamtheit der Lö-
sungen des Problems I. Daraus folgt: Es gibt wenigstens eine
Lösung dann und nur dann, wenn i?z>0 ist, d. h. dann und
nur dann, wenn
r<(^+2)-(M-f+2

oder, was dasselbe ist, wenn

’■ ä (V b - (M_ f+2)-1=C7 V)ist
Der Satz (23 a) bedarf noch einer Ergänzung für den Fall M<ZN.
Hier liegen die Verhältnisse etwas einfacher. Da ja jedes Polynom,
welches die Ordnung M nicht übersteigt, teilerfremd zum irreduziblen
Grundpolynom g ist, welches die höhere Ordnung N besitzt. Daher
folgt aus Satz (21) der Satz:

(23 b)

Bei M<CN bildet die Gesamtheit der Lösungen des Problems I,
wenn es überhaupt solche gibt, einen Modul vom Bange

k 2 ) ’

wo r der Bang der Koeffizientenmatrix der Gleichungen (11) ist. Es